Encontre uma matriz triangular superior U (não diagonal) com U^2=I que satisfaça U=U^-1.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz triangular superior U, não diagonal, tal que
U^2=I
isso implica imediatamente que
U=U^-1
ou seja, estamos procurando um exemplo de matriz involutória (involução) que seja triangular superior e tenha pelo menos um elemento acima da diagonal principal diferente de zero.

Passo 2

Recordando a definição: uma matriz U é involutória se
U^2=I
Nesse caso vale também
U^-1=U
Além disso, como queremos triangular superior, todos os elementos abaixo da diagonal principal devem ser zero.

Passo 3

Considere uma matriz genérica 2times 2 triangular superior
U= a & b 0 & c
Vamos calcular
U^2= a & b[6pt] 0 & c a & b 0 & c = a^2 & ab+bc 0 & c^2
]

Passo 4

Impondo U^2=I, ou seja
a^2 & ab+bc 0 & c^2 = 1 & 0 0 & 1 ,
obtemos as equações
a^2=1, c^2=1, ab+bc=0

Passo 5

Para que a matriz não seja diagonal precisamos de bneq0. A condição ab+bc=0 fica
b,(a+c)=0;Longrightarrow;a+c=0
porque escolhemos bneq0. Logo c=-a. Das equações a^2=1 e c^2=1 basta tomar a=1 e c=-1. Assim surge um exemplo simples:
U= 1 & 1 0 & -1
Verifique que
U^2 = 1 & 1 0 & -1 ^!2 = 1 & 1-1 0 & 1 =I,
logo U^-1=U.

Resposta

U= 1 & 1 0 & -1

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