Encontre uma matriz triangular superior (não diagonal) com que satisfaça .
Passo 1
O enunciado pede uma matriz triangular superior , não diagonal, tal que
isso implica imediatamente que
ou seja, estamos procurando um exemplo de matriz involutória (involução) que seja triangular superior e tenha pelo menos um elemento acima da diagonal principal diferente de zero.
Passo 2
Recordando a definição: uma matriz é involutória se
Nesse caso vale também
Além disso, como queremos triangular superior, todos os elementos abaixo da diagonal principal devem ser zero.
Passo 3
Considere uma matriz genérica triangular superior
Vamos calcular
U^2= a & b[6pt] 0 & c a & b 0 & c = a^2 & ab+bc 0 & c^2
]
Passo 4
Impondo U^2=I, ou seja
a^2 & ab+bc 0 & c^2 = 1 & 0 0 & 1 ,
obtemos as equações
a^2=1, c^2=1, ab+bc=0
Passo 5
Para que a matriz não seja diagonal precisamos de bneq0. A condição ab+bc=0 fica
b,(a+c)=0;Longrightarrow;a+c=0
porque escolhemos bneq0. Logo c=-a. Das equações a^2=1 e c^2=1 basta tomar a=1 e c=-1. Assim surge um exemplo simples: