No espaço vetorial
dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, assinale o vetor v, de forma que o conjunto formado pelos vetores
e
seja linearmente independente.
Escolha uma opção:
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
e.
.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. A gente precisa encontrar qual vetor
faz com que o conjunto formado por
,
e
seja linearmente independente. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores iguais a zero, exceto a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero). Ou seja, se a única solução para
for
, então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos analisar as opções para
e ver qual delas não pode ser escrita como combinação linear de
e
. Se
for uma combinação de
e
, o conjunto não será linearmente independente.
Passo 4
Vamos verificar cada opção:
a.
: Aqui,
é claramente uma múltiplo de
, então já é uma combinação linear de
e o conjunto seria dependente.
b.
: Esse é um polinômio constante. Vamos ver se conseguimos escrever 17 como uma combinação de
e
:
Isso implica que
e
. Resolvendo:
Substituindo:
Então
. Portanto, 17 pode ser escrito como combinação de
e
, então o conjunto seria dependente.
c.
: O vetor nulo sempre torna o conjunto dependente, pois ele pode ser escrito como
.
d.
: Aqui,
é a soma de
e
, então claramente é uma combinação linear deles, tornando o conjunto dependente.
e.
: Vamos verificar se
pode ser escrito como combinação de
e
:
Agora, tentamos expressar
como
:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
$$ 0 = 5 , o que é impossível)
Esse sistema não tem solução, o que significa que não pode ser escrito como combinação de
e
. Portanto, o conjunto será linearmente independente.
Esse sistema não tem solução, o que significa que
Resposta
A opção correta é e.
.