No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, assinale o vetor v, de forma que o conjunto formado pelos vetores v1=4 x^2-3, v2=-x^2+5 e v seja linearmente independente.
Escolha uma opção:
a. v=-5 v1.
b. v=17.
c. v=0.
d. v=v1+v2.
e. v=5 x+v1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o espaço vetorial P2 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. A gente precisa encontrar qual vetor v faz com que o conjunto formado por v1 = 4x^2 - 3 , v2 = -x^2 + 5 e v seja linearmente independente. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores iguais a zero, exceto a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero). Ou seja, se a única solução para a1v1 + a2v2 + a3v = 0 for a1 = a2 = a3 = 0 , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos analisar as opções para v e ver qual delas não pode ser escrita como combinação linear de v1 e v2 . Se v for uma combinação de v1 e v2 , o conjunto não será linearmente independente.

Passo 4

Vamos verificar cada opção:
a. : Aqui, é claramente uma múltiplo de , então já é uma combinação linear de e o conjunto seria dependente.
b. : Esse é um polinômio constante. Vamos ver se conseguimos escrever 17 como uma combinação de e :
Isso implica que e . Resolvendo:
Substituindo:
Então . Portanto, 17 pode ser escrito como combinação de e , então o conjunto seria dependente.
c. : O vetor nulo sempre torna o conjunto dependente, pois ele pode ser escrito como .
d. : Aqui, é a soma de e , então claramente é uma combinação linear deles, tornando o conjunto dependente.
e. : Vamos verificar se pode ser escrito como combinação de e :
Agora, tentamos expressar como :
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
$$ 0 = 5 , o que é impossível)
Esse sistema não tem solução, o que significa que não pode ser escrito como combinação de e . Portanto, o conjunto será linearmente independente.

Resposta

A opção correta é e. v = 5x + v1 .

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