Obtenha as matrizes X e Y tais que
\left\{\begin{array}{l} X+Y=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right] \\\ X-Y=\left[\begin{array}{ll} 8 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right] \end{array}\right.
Verifique se as matrizes \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ -3 & 4\end{array}\right) e \left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) comutam.

Passo 1

O enunciado dá duas equações matriciais simultâneas e pede duas coisas:
  • Determinar as matrizes X e Y tais que
\left\{\begin{array}{l} X+Y=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right] \\[6pt] X-Y=\left[\begin{array}{cc} 8 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right] \end{array}\right.
  • Verificar se as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \end{array}\right] \quad\text{e}\quad B=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\[4pt] 3 & 1 \end{array}\right]
comutam (isto é, se AB=BA).
Informações relevantes dadas:
  • As somas e diferenças de matrizes são feitas elemento a elemento.
  • A multiplicação de matrizes exige produto escalar entre linhas da primeira e colunas da segunda (vai explicar isso quando calcular).]

Passo 2

Como resolver o sistema para X\) e \(Y\): pense como num sistema linear escalar \[\begin{cases} X+Y = A,\\[4pt] X-Y = B, \end{cases}
onde
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\[4pt] -1 & 4 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{cc} 8 & 1 \\[4pt] 1 & 2 \end{array}\right].
Se somarmos as duas equações, obtemos 2X = A + B\]. Logo \[X=\tfrac{1}{2}(A+B).\] Se subtrairmos a segunda da primeira, obtemos \(2Y = A - B. Logo
Y=\tfrac{1}{2}(A-B).
Isto funciona porque operações com matrizes (adição, subtração e multiplicação por escalar) seguem as mesmas regras distributivas que conhecemos dos números, aplicadas elemento a elemento.]

Passo 3

Calcule A+B elemento a elemento:
A+B=\left[\begin{array}{cc} 2+8 & 5+1 \\[4pt] -1+1 & 4+2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 10 & 6 \\[4pt] 0 & 6 \end{array}\right].
Agora divida por 2 (multiplicação por escalar):
X=\tfrac{1}{2}(A+B)=\left[\begin{array}{cc} \tfrac{10}{2} & \tfrac{6}{2} \\[4pt] \tfrac{0}{2} & \tfrac{6}{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 5 & 3 \\[4pt] 0 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Calcule A-B elemento a elemento:
A-B=\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 5-1 \\[4pt] -1-1 & 4-2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -6 & 4 \\[4pt] -2 & 2 \end{array}\right].
Agora divida por 2:
Y=\tfrac{1}{2}(A-B)=\left[\begin{array}{cc} \tfrac{-6}{2} & \tfrac{4}{2} \\[4pt] \tfrac{-2}{2} & \tfrac{2}{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\[4pt] -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas bom para garantir que não houve erro):
X+Y=\left[\begin{array}{cc} 5 & 3 \\[4pt] 0 & 3 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\[4pt] -1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\[4pt] -1 & 4 \end{array}\right]=A,
X-Y=\left[\begin{array}{cc} 5 & 3 \\[4pt] 0 & 3 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\[4pt] -1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 8 & 1 \\[4pt] 1 & 2 \end{array}\right]=B.
Está correto.]

Passo 6

Agora verificar se A e B comutam. Primeiro reescrevo as matrizes para clareza:
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\[4pt] 3 & 1 \end{array}\right].
Lembrete sobre multiplicação: o elemento (i,j) do produto PQ é o produto escalar da linha i de P com a coluna j de Q.]

Passo 7

Calcule AB. Fazer entrada a entrada:
  • Primeiro elemento (1,1): linha 1 de A é (2,0), coluna 1 de B é \begin{pmatrix}3\\[2pt]3\end{pmatrix}. Produto escalar 2\cdot3 + 0\cdot3 = 6.
  • Elemento (1,2): linha 1 de A com coluna 2 de B (coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}). Produto 2\cdot0 + 0\cdot1 = 0.
  • Elemento (2,1): linha 2 de A é (-3,4), coluna 1 de B é (3,3). Produto -3\cdot3 + 4\cdot3 = -9 + 12 = 3.
  • Elemento (2,2): linha 2 de A com coluna 2 de B: -3\cdot0 + 4\cdot1 = 4.
Portanto
AB=\left[\begin{array}{cc} 6 & 0 \\[4pt] 3 & 4 \end{array}\right].]

Passo 8

Calcule BA do mesmo modo:
  • Elemento (1,1): linha 1 de B é (3,0), coluna 1 de A é (2,-3). Produto 3\cdot2 + 0\cdot(-3) = 6.
  • Elemento (1,2): linha 1 de B com coluna 2 de A (coluna 2 é (0,4)). Produto 3\cdot0 + 0\cdot4 = 0.
  • Elemento (2,1): linha 2 de B é (3,1), coluna 1 de A é (2,-3). Produto 3\cdot2 + 1\cdot(-3) = 6-3 = 3.
  • Elemento (2,2): linha 2 de B com coluna 2 de A: 3\cdot0 + 1\cdot4 = 4.
Logo
BA=\left[\begin{array}{cc} 6 & 0 \\[4pt] 3 & 4 \end{array}\right].]

Passo 9

Comparando, obtemos AB=BA=\left[\begin{array}{cc}6 & 0 \\[4pt]3 & 4\end{array}\right]. Portanto as duas matrizes comutam. (Comentário curto: em geral matrizes não comutam, mas neste caso os produtos coincidiram.)]

Resposta

X=\left[\begin{array}{cc}5 & 3 \\[4pt]0 & 3\end{array}\right]
Y=\left[\begin{array}{cc}-3 & 2 \\[4pt]-1 & 1\end{array}\right]
As matrizes \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt]-3 & 4\end{array}\right] e \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\[4pt]3 & 1\end{array}\right] comutam (sim).]

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