Sabendo que A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -4 & 0 \\\\ 0 & 0 & x+3\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\ x & 0 & 2\end{array}\right), calcule o valor x \in \mathbb{R} de modo que A e B comutem, isto é, A B=B A.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes A e B e pede o(s) valor(es) de x\in\mathbb{R} tal que A e B comutem, isto é, AB=BA.
A é uma matriz diagonal com entradas diagonais d_1=1, d_2=-4 e d_3=x+3.
Em B, os elementos não nulos (possíveis geradores de condições de comutação) estão em (1,1) com b_{11}=2, em (2,2) com b_{22}=4, em (3,1) com b_{31}=x e em (3,3) com b_{33}=2.
A pergunta é: para quais valores de x vale AB=BA?]
Passo 2
Vamos entender uma propriedade útil: quando A é diagonal, o produto com qualquer matriz B simplifica muito. Escrevendo A=\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3) e B=(b_{ij}), pelo produto de matrizes temos
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj}.
Como a_{ik}=0 para k\ne i e a_{ii}=d_i, só sobra o termo k=i, portanto
Comparando as duas matrizes, todas as entradas já coincidem exceto possivelmente a posição (3,1), onde é necessário x(x+3)=x. Essa é justamente a equação que resolvemos em]