1. Sabendo que A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -4 & 0 \\\\ 0 & 0 & x+3\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\ x & 0 & 2\end{array}\right), calcule o valor x \in \mathbb{R} de modo que A e B comutem, isto é, A B=B A.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede o(s) valor(es) de x\in\mathbb{R} tal que A e B comutem, isto é, AB=BA.
As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -4 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & x+3\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 4 & 0 \\[4pt] x & 0 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é uma matriz diagonal com entradas diagonais d_1=1, d_2=-4 e d_3=x+3.
  • Em B, os elementos não nulos (possíveis geradores de condições de comutação) estão em (1,1) com b_{11}=2, em (2,2) com b_{22}=4, em (3,1) com b_{31}=x e em (3,3) com b_{33}=2.
  • A pergunta é: para quais valores de x vale AB=BA?]

Passo 2

Vamos entender uma propriedade útil: quando A é diagonal, o produto com qualquer matriz B simplifica muito. Escrevendo A=\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3) e B=(b_{ij}), pelo produto de matrizes temos
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj}.
Como a_{ik}=0 para k\ne i e a_{ii}=d_i, só sobra o termo k=i, portanto
(AB)_{ij}=d_i b_{ij}.
De maneira análoga, para BA obtemos
(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ik} a_{kj} = b_{ij} d_j,
pois agora só o termo k=j sobrevive. Conclusão compacta:
(AB)_{ij}=d_i b_{ij},\qquad (BA)_{ij}=b_{ij} d_j.
Logo, a condição AB=BA equivale a exigir, para todo par (i,j),
d_i b_{ij} = b_{ij} d_j \quad\Longleftrightarrow\quad (d_i-d_j)\,b_{ij}=0.
Isto significa: para cada posição (i,j) onde b_{ij}\neq0 deve valer d_i=d_j; se b_{ij}=0 não impõe condição.

Passo 3

Apliquemos a regra ao nosso caso. Identificamos
d_1=1,\qquad d_2=-4,\qquad d_3=x+3.
Examinando as entradas não nulas de B:
  • Para (i,j)=(1,1): b_{11}=2\neq0. A condição é d_1 b_{11}=b_{11} d_1, que é 1\cdot2 = 2\cdot1, verdadeira sem impor restrição adicional.
  • Para (i,j)=(2,2): b_{22}=4\neq0. A condição d_2 b_{22}=b_{22} d_2 também é sempre verdadeira (trivial).
  • Para (i,j)=(3,3): b_{33}=2\neq0. A condição d_3 b_{33}=b_{33} d_3 é também trivial (igual dos dois lados).
  • Para (i,j)=(3,1): b_{31}=x. Esta posição é a que pode gerar uma restrição não-trivial. A condição d_3 b_{31}=b_{31} d_1 vira
(x+3)\cdot x = x\cdot 1.
As demais posições de B são zero e não impõem condições.

Passo 4

Agora resolvemos a equação obtida em (3,1):
(x+3)x = x.
Passos algébricos:
x(x+3)=x \quad\Longrightarrow\quad x(x+3)-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x\bigl((x+3)-1\bigr)=0.
Isto dá
x(x+2)=0.
Portanto as soluções são \,x=0 ou \,x=-2.

Passo 5

Verificação rápida (confirmação): podemos escrever explicitamente AB e BA usando a propriedade anterior.
Para AB (cada linha i de B é multiplicada por d_i):
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot 2 & 1\cdot 0 & 1\cdot 0\\[4pt] -4\cdot 0 & -4\cdot 4 & -4\cdot 0\\[4pt] (x+3)\cdot x & (x+3)\cdot 0 & (x+3)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -16 & 0\\[4pt] x(x+3) & 0 & 2(x+3) \end{pmatrix}.
Para BA (cada coluna j de B é multiplicada por d_j):
BA=\begin{pmatrix} 2\cdot 1 & 0\cdot (-4) & 0\cdot (x+3)\\[4pt] 0\cdot 1 & 4\cdot (-4) & 0\cdot (x+3)\\[4pt] x\cdot 1 & 0\cdot (-4) & 2\cdot (x+3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -16 & 0\\[4pt] x & 0 & 2(x+3) \end{pmatrix}.
Comparando as duas matrizes, todas as entradas já coincidem exceto possivelmente a posição (3,1), onde é necessário x(x+3)=x. Essa é justamente a equação que resolvemos em]

Resposta

\,x=0
\,x=-2

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