Encontre matrizes elementares E, F, G tais que E.F.G.A seja triangular superior, onde a matriz A está abaixo. Calcule também a matriz M=E F G.
A=(ccc 1 & 1 & 0 4 & 6 & 1 -2 & 2 & 0 )

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 1 & 0 4 & 6 & 1 -2 & 2 & 0
e pede para encontrar matrizes elementares E,F,G tais que
E,F,G,A
seja triangular superior.
Para isso usamos eliminação de Gauss: cada operação de linha
Ri Ri + m,Rj
corresponde à multiplicação à esquerda por
I + m,Ei,j,
onde Ei,j é a matriz com 1 na posição (i,j) e zeros nos outros lugares.

Passo 2

Queremos zerar o elemento a21=4 usando
R2 R2 - 4,R1
A matriz elementar correspondente é
G = I - 4,E2,1 = 1 & 0 & 0 -4 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicando em A:
G,A = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 -2 & 2 & 0

Passo 3

Agora zeramos a31=-2 (na nova matriz) com
R3 R3 + 2,R1
A matriz elementar é
F = I + 2,E3,1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1
Aplicando em G,A:
F,(G,A) = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 0

Passo 4

Falta zerar o elemento na posição (3,2), que atualmente vale 4. Fazemos
R3 R3 - 2,R2
A matriz elementar é
E = I - 2,E3,2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1
Aplicando em F,G,A:
E,(F,G,A) = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & -2 ,
que é de fato triangular superior.

Passo 5

Calculamos agora
M = E,F,G
Primeiro
E,F = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -2 & 1
Em seguida
M = (E,F),G = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -2 & 1 1 & 0 & 0 -4 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 -4 & 1 & 0 10 & -2 & 1

Resposta

E = 1&0&00&1&00&-2&1
F = 1&0&00&1&02&0&1
G = 1&0&0-4&1&00&0&1
M = E,F,G = 1&0&0-4&1&010&-2&1

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