Sejam as matrizes
A=(ccc 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 ), B=(ccc 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 ), C=(ccc 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 ), D=(ccc 8 & 1 & 5 -6 & 21 & 3 3 & 4 & 1 ), F=(lll 8 & 1 & 5 8 & 1 & 1 3 & 4 & 1 )
Nos itens abaixo determine matrizes elementares E, caso possível, de modo que a igualdade seja satisfeita. Caso não seja possível, justifique.
a) E cdot A=B.
b) E cdot B=A.
c) E cdot A=C.
d) E C=A.
e) E cdot B=D.
f) E D=B.
g) E cdot B=F.
h) E F=B.

Passo 1

O enunciado pede para, em cada item, encontrar uma única matriz elementar E de modo que, ao multiplicar à esquerda a matriz dada, obtenhamos o resultado pedido. Lembre-mo-nos que multiplicar à esquerda por uma matriz elementar equivale a fazer uma única operação elementar de linha na matriz original.

Passo 2

Item (a): queremos Ecdot A=B. Comparando as linhas, vemos que em B a primeira linha de A ficou na terceira posição e a terceira de A ficou na primeira, enquanto a segunda permaneceu. Isso corresponde a trocar R1rightarrow R3. A matriz elementar que faz essa troca é
E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 3

Item (b): queremos Ecdot B=A. Como B difere de A justamente por uma troca de R1 com R3, basta usar de novo
E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 4

Item (c): queremos Ecdot A=C. Aqui C mantém R1 e R2 de A e a terceira linha virou
R3' = R3 - 2,R1
A matriz elementar correspondente é
E = I - 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2& 0 & 1

Passo 5

Item (d): queremos Ecdot C=A. Agora partimos de C e devemos obter A adicionando 2 vezes R1 de C à sua terceira linha:
R3' = R3 + 2,R1
A matriz elementar é
E = I + 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1

Passo 6

Item (e): queremos Ecdot B=D. Observamos que em D apenas a segunda linha de B foi escalada por -3:
R2' = -3,R2
Logo
E = diag(1,,-3,,1) = 1 & 0 & 0 0 & -3& 0 0 & 0 & 1

Passo 7

Item (f): queremos Ecdot D=B. Aqui apenas R2 de D é multiplicada por -tfrac13 para voltar a R2 de B:
R2' = -tfrac13,R2
Então
E = diagl(1,,-tfrac13,,1r) = 1 & 0 & 0 0 & -tfrac13 & 0 0 & 0 & 1

Passo 8

Item (g): queremos Ecdot B=F. Em F só a segunda linha é alterada por soma de 2 vezes R3 de B:
R2' = R2 + 2,R3
A matriz elementar é
E = I + 2,E23 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Passo 9

Item (h): queremos Ecdot F=B. Aqui R2 de F volta à de B subtraindo 2 vezes R3:
R2' = R2 - 2,R3
Então
E = I - 2,E23 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1

Resposta

(a) E=0&0&10&1&01&0&0
(b) E=0&0&10&1&01&0&0
(c) E=1&0&00&1&0-2&0&1
(d) E=1&0&00&1&02&0&1
(e) E=1&0&00&-3&00&0&1
(f) E=1&0&00&-tfrac13&00&0&1
(g) E=1&0&00&1&20&0&1
(h) E=1&0&00&1&-20&0&1

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