Nos itens abaixo determine matrizes elementares E, caso possível, de modo que a igualdade seja satisfeita. Caso não seja possível, justifique.
a) E cdot A=B.
b) E cdot B=A.
c) E cdot A=C.
d) E C=A.
e) E cdot B=D.
f) E D=B.
g) E cdot B=F.
h) E F=B.
Passo 1
O enunciado pede para, em cada item, encontrar uma única matriz elementar E de modo que, ao multiplicar à esquerda a matriz dada, obtenhamos o resultado pedido. Lembre-mo-nos que multiplicar à esquerda por uma matriz elementar equivale a fazer uma única operação elementar de linha na matriz original.
Passo 2
Item (a): queremos Ecdot A=B. Comparando as linhas, vemos que em B a primeira linha de A ficou na terceira posição e a terceira de A ficou na primeira, enquanto a segunda permaneceu. Isso corresponde a trocar R1rightarrow R3. A matriz elementar que faz essa troca é
E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Passo 3
Item (b): queremos Ecdot B=A. Como B difere de A justamente por uma troca de R1 com R3, basta usar de novo
E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Passo 4
Item (c): queremos Ecdot A=C. Aqui C mantém R1 e R2 de A e a terceira linha virou
R3' = R3 - 2,R1
A matriz elementar correspondente é
E = I - 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2& 0 & 1
Passo 5
Item (d): queremos Ecdot C=A. Agora partimos de C e devemos obter A adicionando 2 vezes R1 de C à sua terceira linha:
R3' = R3 + 2,R1
A matriz elementar é
E = I + 2,E31 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1
Passo 6
Item (e): queremos Ecdot B=D. Observamos que em D apenas a segunda linha de B foi escalada por -3: