Nos itens abaixo são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A. Determine a operação que corresponde a matriz E e, usando essa operação, calcule E.A.
a) E=(cc-6 & 0 0 & 1), A=(cccc1 & -2 & 5 & -1 3 & -6 & -6 & -6).
b) E=(ccc1 & 0 & 0 -4 & 1 & 0 0 & 0 & 1), A=(cccc2 & -1 & 0 & -4 1 & -3 & -1 & 5 2 & 0 & 1 & 3).
c) E=(lll1 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 1), A=(ll1 & 4 2 & 5 3 & 6).
d) E=(lll1 & 0 & 4 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1), A=(ll1 & 4 2 & 5 3 & 6).

Passo 1

O enunciado dá quatro casos de matrizes elementares E e matrizes A. Em cada caso precisamos (1) identificar qual operação de linha em A corresponde a multiplicar A por E à esquerda, e (2) calcular o produto ,E,A. O conteúdo usado é que matrizes elementares representam operações de linha: escalonamento de linhas, troca de linhas ou combinação de linhas.

Passo 2

Caso (a):
E=-6&00&1 é a matriz que multiplica a linha 1 por -6 e mantém a linha 2. Logo a operação é
R1 -6,R1
Aplicando em
A=1&-2&5&-13&-6&-6&-6 obtemos
E,A= -6cdot1 & -6cdot(-2) & -6cdot5 & -6cdot(-1) 3 & -6 & -6 & -6 = -6 & 12 & -30 & 6 3 & -6 & -6 & -6

Passo 3

Caso (b):
E=1&0&0-4&1&00&0&1 aplica em A a operação
R2 R2-4,R1,
pois a segunda linha de E é (-4,1,0). Em
A=2&-1&0&-41&-3&-1&52&0&1&3 isso dá
R2'=(1,, -3,, -1,,5)-4,(2,,-1,,0,,-4)=(-7,,1,,-1,,21)
e as outras linhas ficam iguais. Assim
E,A= 2 & -1 & 0 & -4 -7 & 1 & -1 & 21 2 & 0 & 1 & 3

Passo 4

Caso (c):
E=1&0&00&5&00&0&1 multiplica a linha 2 por 5 e deixa as demais inalteradas:
R2 5,R2
Em
A=1&42&53&6 a nova linha 2 é
,(2,5)mapsto(10,25). Logo
E,A= 1 & 4 10 & 25 3 & 6

Passo 5

Caso (d):
E=1&0&40&1&00&0&1 tem primeira linha (1,0,4), ou seja
R1 R1+4,R3
Em
A=1&42&53&6 a nova linha 1 é
(1,4)+4,(3,6)=(1+12,;4+24)=(13,28),
e as demais linhas não mudam. Assim
E,A= 13 & 28 2 & 5 3 & 6

Resposta

a) Operação R1 -6,R1.
E,A= -6 & 12 & -30 & 6 3 & -6 & -6 & -6
b) Operação R2 R2-4,R1.
E,A= 2 & -1 & 0 & -4 -7 & 1 & -1 & 21 2 & 0 & 1 & 3
c) Operação R2 5,R2.
E,A= 1 & 4 10 & 25 3 & 6
d) Operação R1 R1+4,R3.
E,A= 13 & 28 2 & 5 3 & 6

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