Escreva as matrizes que efetuam as operações abaixo
a) Trocar a linha 2 pela linha 2 somada com 5 vezes a linha 1.
b) Trocar a linha 3 pela linha 3 subtraída com 7 vezes a linha 2 .
c) Trocar a linha 2 pela linha 1 e depois trocar a linha 2 pela linha 3.
Passo 1
O enunciado pede para escrever as matrizes elementares de ordem que realizam certas operações de linhas em qualquer matriz . O conteúdo envolvido é o conceito de matriz elementar associada a operações elementares de linha:
adicionar múltiplo de uma linha a outra,
substituir uma linha pela subtração de múltiplo de outra,
trocar duas linhas.
Passo 2
Para a operação de adicionar 5 vezes a linha 1 à linha 2, a matriz elementar é obtida a partir da identidade somando na posição . Assim,
onde e2,1 tem 1 na entrada (2,1) e zeros nas demais.
Passo 3
Para substituir a linha 3 pela linha 3 menos 7 vezes a linha 2, a matriz elementar Eb é
Eb = I3 - 7,e3,2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -7& 1
Passo 4
Para trocar a linha 1 com a linha 2 usamos
E(1,2) = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
e, em seguida, para trocar a linha 2 com a linha 3,
E(2,3) = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Se quisermos a matriz que faz as duas trocas de uma vez, basta compor E(2,3)E(1,2), que dá