Escreva as matrizes 3 times 3 que efetuam as operações abaixo
a) Trocar a linha 2 pela linha 2 somada com 5 vezes a linha 1.
b) Trocar a linha 3 pela linha 3 subtraída com 7 vezes a linha 2 .
c) Trocar a linha 2 pela linha 1 e depois trocar a linha 2 pela linha 3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as matrizes elementares de ordem 3 que realizam certas operações de linhas em qualquer matriz A. O conteúdo envolvido é o conceito de matriz elementar associada a operações elementares de linha:
  • adicionar múltiplo de uma linha a outra,
  • substituir uma linha pela subtração de múltiplo de outra,
  • trocar duas linhas.

Passo 2

Para a operação de adicionar 5 vezes a linha 1 à linha 2, a matriz elementar Ea é obtida a partir da identidade ,I3 somando 5 na posição (2,1). Assim,
Ea = I3 + 5,e2,1 = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
onde e2,1 tem 1 na entrada (2,1) e zeros nas demais.

Passo 3

Para substituir a linha 3 pela linha 3 menos 7 vezes a linha 2, a matriz elementar Eb é
Eb = I3 - 7,e3,2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -7& 1

Passo 4

Para trocar a linha 1 com a linha 2 usamos
E(1,2) = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
e, em seguida, para trocar a linha 2 com a linha 3,
E(2,3) = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Se quisermos a matriz que faz as duas trocas de uma vez, basta compor E(2,3)E(1,2), que dá
Ec = E(2,3),E(1,2) = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0

Resposta

(a)
1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1
(b)
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -7& 1
(c) primeiro
0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
depois
1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
(e, se quiser só uma matriz que faz as duas trocas de uma vez,
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ).

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