Seja A in R^n times n. Dizemos que lambda in R é um auto-valor de A se existe v in R^n times 1, com v neq 0 tal que A v=lambda v. Neste caso v é dito um auto-vetor de A associado à lambda. Mostre que são equivalentes:
a) lambda é um auto-valor de A.
b) O sistema (A-lambda Idn) X=0 admite solução não trivial.
c) A matriz (A-lambda Idn) não é invertível.
d) Temos det(A-lambda Idn)=0.

Passo 1

O enunciado considera uma matriz AinR^ntimes n e define lambdainR como auto-valor se existem vetores vneq0 tais que
A v = lambda v
Queremos mostrar a equivalência das seguintes afirmações:
a) lambda é auto-valor de A.
b) O sistema l(A - lambda,Idnr)X=0 admite solução não trivial.
c) A matriz l(A - lambda,Idnr) não é invertível.
d) detl(A - lambda,Idnr)=0.
Para isso usaremos conceitos de sistema homogêneo, invertibilidade e determinante.

Passo 2

Mostramos que (a) e (b) são equivalentes.
Se lambda é auto-valor então existe vneq0 com
A v = lambda v ;Long<=ftrightarrow; A v - lambda,Idn,v = 0 ;Long<=ftrightarrow; l(A - lambda,Idnr)v = 0,
logo o sistema l(A - lambda,Idnr)X=0 tem solução não trivial X=v.
Recíproco: se existe vneq0 tal que (A - lambda,Idn)v=0, então Av=lambda v, ou seja, lambda é auto-valor.

Passo 3

Mostramos que (b) e (c) são equivalentes.
Um sistema homogêneo M X=0 admite solução não trivial se e somente se a matriz M é singular, isto é, não é invertível.
Aplicando a M = A - lambda,Idn, concluímos que (b) ocorre se e somente se (c) ocorre.

Passo 4

Mostramos que (c) e (d) são equivalentes.
Uma matriz quadrada M é invertível exatamente quando det(M)neq0.
Portanto M não é invertível se e somente se det(M)=0.
Aplicando a M = A - lambda,Idn, temos (c) iff (d).

Resposta

Concluímos que
(a);Long<=ftrightarrow;(b);Long<=ftrightarrow;(c);Long<=ftrightarrow;(d),
ou seja, as quatro afirmações são equivalentes.

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