Seja
. Dizemos que
é um auto-valor de
se existe
, com
tal que
. Neste caso
é dito um auto-vetor de
associado à
. Mostre que são equivalentes:
a)
é um auto-valor de
.
b) O sistema
admite solução não trivial.
c) A matriz
não é invertível.
d)
.
a)
b) O sistema
c) A matriz
d)
Passo 1
O enunciado considera uma matriz
e define
como auto-valor se existem vetores
tais que
Queremos mostrar a equivalência das seguintes afirmações:
a) é auto-valor de
.
b) O sistema admite solução não trivial.
c) A matriz não é invertível.
d) .
Para isso usaremos conceitos de sistema homogêneo, invertibilidade e determinante.
a)
b) O sistema
c) A matriz
d)
Para isso usaremos conceitos de sistema homogêneo, invertibilidade e determinante.
Passo 2
Mostramos que (a) e (b) são equivalentes.
Se é auto-valor então existe
com
Se
logo o sistema
tem solução não trivial
.
Recíproco: se existe tal que
, então
, ou seja,
é auto-valor.
Recíproco: se existe
Passo 3
Mostramos que (b) e (c) são equivalentes.
Um sistema homogêneo admite solução não trivial se e somente se a matriz
é singular, isto é, não é invertível.
Aplicando a , concluímos que (b) ocorre se e somente se (c) ocorre.
Um sistema homogêneo
Aplicando a
Passo 4
Mostramos que (c) e (d) são equivalentes.
Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando
.
Portanto não é invertível se e somente se
.
Aplicando a , temos (c)
(d).
Uma matriz quadrada
Portanto
Aplicando a
Resposta
Concluímos que
ou seja, as quatro afirmações são equivalentes.