Se o produto C=A B é invertível (com A e B sendo quadradas), então A também é invertível. Encontre uma fórmula para A^-1 que envolva C^-1 e B.

Passo 1

O exercício dá matrizes quadradas A e B e diz que o produto C = AB é invertível. A meta é mostrar que A também é invertível e achar uma expressão para A^-1 usando C^-1 e B. O conteúdo aqui é a propriedade de inversibilidade de produto de matrizes.

Passo 2

Começamos com
C = AB
e multiplicamos à direita por C^-1. Assim,
A,B,C^-1 = C,C^-1 = I
Isso mostra que B,C^-1 é uma inversa à direita de A.

Passo 3

Para matrizes quadradas, existir inversa à direita já garante que a matriz é invertível e que essa inversa é também à esquerda. Logo,
A^-1 = B,C^-1

Resposta

A^-1 = B,C^-1

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