Encontre o máximo e o mínimo absoluto da função f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y no retângulo D = {(x, y) ; 0 <= x <= 1, |y| <= 4}

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função dentro do retângulo . Isso faz parte da matéria de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente buscando extremos absolutos em um domínio limitado. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e analisar as fronteiras do retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do retângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a :
Vamos igualar ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Mas como nosso domínio é e , os pontos críticos dentro do nosso retângulo são e .

Passo 3

Agora que temos os pontos críticos e , vamos calcular o valor da função nesses pontos.
Para :
Para :

Passo 4

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras do retângulo . As fronteiras são:
  1. com
  2. com
  3. com
  4. com
Vamos calcular em cada uma dessas fronteiras.

Passo 5

Primeiro, na fronteira :
Vamos encontrar o máximo e mínimo de no intervalo .
Calculamos a derivada em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos dos extremos nos pontos e .
Calculando :
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é e o máximo é .

Passo 6

Agora, na fronteira :
Vamos encontrar o máximo e mínimo de no intervalo .
Calculamos a derivada em relação a :
Igualando a zero:
Calculando :
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é e o máximo é .

Passo 7

Agora, na fronteira :
Vamos encontrar o máximo e mínimo de no intervalo .
Calculamos a derivada em relação a :
Igualando a zero:
No intervalo , temos .
Calculando :
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é e o máximo é .

Passo 8

Por último, na fronteira :
Vamos encontrar o máximo e mínimo de no intervalo .
Calculamos a derivada em relação a :
Igualando a zero:
No intervalo , temos .
Calculando :
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é e o máximo é .

Resposta

Após analisar todos os pontos críticos e as fronteiras do retângulo , encontramos que:
  • Máximo absoluto de em é , atingido em e .
  • Mínimo absoluto de em é , atingido em .

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