Encontre o máximo e o mínimo absoluto da função
no retângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função
dentro do retângulo
. Isso faz parte da matéria de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente buscando extremos absolutos em um domínio limitado. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e analisar as fronteiras do retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do retângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
:
Vamos igualar ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Mas como nosso domínio é
e
, os pontos críticos dentro do nosso retângulo são
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos calcular o valor da função
nesses pontos.
Para
:
Para
:
Passo 4
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras do retângulo
. As fronteiras são:
-
com -
com -
com -
com
Vamos calcular
em cada uma dessas fronteiras.
Passo 5
Primeiro, na fronteira
:
Vamos encontrar o máximo e mínimo de
no intervalo
.
Calculamos a derivada em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos dos extremos nos pontos
e
.
Calculando
:
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é
e o máximo é
.
Passo 6
Agora, na fronteira
:
Vamos encontrar o máximo e mínimo de
no intervalo
.
Calculamos a derivada em relação a
:
Igualando a zero:
Calculando
:
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é
e o máximo é
.
Passo 7
Agora, na fronteira
:
Vamos encontrar o máximo e mínimo de
no intervalo
.
Calculamos a derivada em relação a
:
Igualando a zero:
No intervalo
, temos
.
Calculando
:
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é
e o máximo é
.
Passo 8
Por último, na fronteira
:
Vamos encontrar o máximo e mínimo de
no intervalo
.
Calculamos a derivada em relação a
:
Igualando a zero:
No intervalo
, temos
.
Calculando
:
Além disso, verificamos nos extremos do intervalo:
Então, nesse caso, o mínimo é
e o máximo é
.
Resposta
Após analisar todos os pontos críticos e as fronteiras do retângulo
, encontramos que:
- Máximo absoluto de
em é , atingido em e . - Mínimo absoluto de
em é , atingido em .