Encontre o máximo e mínimo das funções abaixo no intervalo indicado(ou mostre que não existe)
f(x)=3 \sin x+4 \cos x em [0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede o máximo e o mínimo da função
f(x)=3\sin x + 4\cos x
no intervalo [0,2\pi]. Para isso, vamos usar cálculo de derivada para encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0) e também avaliar os valores de f nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3\cos x - 4\sin x.
Para encontrar pontos críticos, igualamos f'(x) a zero:
3\cos x - 4\sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3\cos x = 4\sin x \quad\Longrightarrow\quad \tan x = \frac{3}{4}.
Isso dá duas soluções em [0,2\pi]:
x_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr), \qquad x_2 = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) + \pi.

Passo 3

Agora avaliamos f nesses pontos. Seja \alpha = \arctan(3/4). No triângulo retângulo associado temos
\sin\alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{4}{5}.
Logo,
f(x_1) =3\sin\alpha + 4\cos\alpha =3\cdot\frac{3}{5} + 4\cdot\frac{4}{5} =\frac{9+16}{5} =5,
f(x_2) =3\sin(\alpha+\pi) + 4\cos(\alpha+\pi) =3(-\sin\alpha) + 4(-\cos\alpha) =-\bigl(3\sin\alpha + 4\cos\alpha\bigr) =-5.

Passo 4

Também checamos as extremidades do intervalo:
f(0)=3\sin 0 + 4\cos 0 = 4, \quad f(2\pi)=3\sin(2\pi) + 4\cos(2\pi) = 4.

Passo 5

Comparando todos os valores obtidos, o maior é 5 e o menor é -5.

Resposta

O valor máximo de f em [0,2\pi] é 5, atingido em
x = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr),
e o valor mínimo é -5, atingido em
x = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) + \pi.

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