Existe uma função
com
para todo
e
para todo
com três raízes reais?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe
tal que
-
para todo , -
para todo ,
e que tenha três raízes reais.
O conteúdo principal é monotonicidade: derivada de um sinal implica função estritamente monótona naquele intervalo.
Passo 2
Como
em
, concluímos que
é estritamente decrescente naquele intervalo. Uma função estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz em
, pois se já existissem duas raízes
com
, a decrescimento implicaria
, absurdo.
Passo 3
De modo análogo, como
em
,
é estritamente crescente para
. Logo, só pode haver no máximo uma raiz em
.
Passo 4
Sob essas condições, a única maneira de se tentar ter três raízes seria incluir também
como raiz. Mas se houvesse uma raiz
, então para todo
teríamos
, forçando
, ou seja,
. Portanto não se pode ter simultaneamente raiz em
e em
. O mesmo vale para combinar
com raízes em
.
Resposta
Não existe função com essas condições de derivada que tenha três raízes reais.