Existe uma função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} com f^{\prime}(x)>0 para todo x \in(0, \infty) e f^{\prime}(x)<0 para todo x \in(-\infty, 0) com três raízes reais?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que
  1. \,f'(x)<0 para todo x<0,
  2. \,f'(x)>0 para todo x>0,
    e que tenha três raízes reais.
    O conteúdo principal é monotonicidade: derivada de um sinal implica função estritamente monótona naquele intervalo.

Passo 2

Como f'(x)<0 em (-\infty,0), concluímos que f é estritamente decrescente naquele intervalo. Uma função estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz em (-\infty,0), pois se já existissem duas raízes a<b<0 com f(a)=f(b)=0, a decrescimento implicaria f(a)>f(b), absurdo.

Passo 3

De modo análogo, como f'(x)>0 em (0,\infty), f é estritamente crescente para x>0. Logo, só pode haver no máximo uma raiz em (0,\infty).

Passo 4

Sob essas condições, a única maneira de se tentar ter três raízes seria incluir também x=0 como raiz. Mas se houvesse uma raiz a<0, então para todo x\in(a,0) teríamos f(x)<f(a)=0, forçando f(0)\le f(x)<0, ou seja, f(0)\neq0. Portanto não se pode ter simultaneamente raiz em x<0 e em x=0. O mesmo vale para combinar x=0 com raízes em x>0.

Resposta

Não existe função com essas condições de derivada que tenha três raízes reais.

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