Encontre o máximo e mínimo das funções abaixo no intervalo indicado(ou mostre que não existe)
f(x)=x-\ln x em (0,3)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x - \ln x
definida no intervalo aberto (0,3). Para encontrar extremos usaremos o teste da derivada: calculamos f'(x), achamos pontos críticos e, em seguida, analisamos o comportamento de f próximo às bordas do intervalo.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x - \ln x\bigr) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}.
Para pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
\frac{x-1}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 3

Classificamos o ponto x=1 pelo sinal de f'. Note que:
- Para 0<x<1, x-1<0 e x>0, logo f'(x)<0.
- Para 1<x<3, x-1>0 e x>0, logo f'(x)>0.
Como f' muda de negativo para positivo em x=1, trata-se de um mínimo. O valor mínimo é
f(1)=1 - \ln 1 = 1 - 0 = 1.

Passo 4

Como o intervalo é aberto, não avaliaremos f exatamente em x=0 nem em x=3. Em vez disso, analisamos os limites:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\bigl(x - \ln x\bigr)=+\infty
pois -\ln x domina e tende a +\infty.
\lim_{x\to3^-}f(x)=3 - \ln 3\quad(\text{número finito}).ú
Portanto, f torna-se arbitrariamente grande perto de x=0 e não atinge nenhum valor máximo finito em (0,3).

Resposta

O mínimo de f em (0,3) ocorre em x=1 e vale f(1)=1.
Não existe máximo finito pois \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.

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