Encontre o máximo e mínimo das funções abaixo no intervalo indicado(ou mostre que não existe)
em
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida no intervalo aberto
. Para encontrar extremos usaremos o teste da derivada: calculamos
, achamos pontos críticos e, em seguida, analisamos o comportamento de
próximo às bordas do intervalo.
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
Para pontos críticos, resolvemos
:
Passo 3
Classificamos o ponto
pelo sinal de
. Note que:
- Para ,
e
, logo
.
- Para ,
e
, logo
.
Como muda de negativo para positivo em
, trata-se de um mínimo. O valor mínimo é
- Para
- Para
Como
Passo 4
Como o intervalo é aberto, não avaliaremos
exatamente em
nem em
. Em vez disso, analisamos os limites:
pois
domina e tende a
.
Portanto,
torna-se arbitrariamente grande perto de
e não atinge nenhum valor máximo finito em
.
Resposta
O mínimo de
em
ocorre em
e vale
.
Não existe máximo finito pois .
Não existe máximo finito pois