Encontre o máximo e mínimo das funções abaixo no intervalo indicado(ou mostre que não existe)
f(x)=x^{3}-2 x em [-2,2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de
f(x)=x^{3}-2x
no intervalo fechado [-2,2].
Para isso vamos usar cálculo de derivada para achar pontos críticos e depois comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-2x\bigr)=3x^{2}-2.
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja
3x^{2}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Ambos estão dentro de [-2,2].

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos críticos. Seja a=\sqrt{\tfrac{2}{3}}. Então
f\bigl(a\bigr) =a^{3}-2a =\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr)^{3} -2\sqrt{\tfrac{2}{3}} =\frac{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{3}-2\sqrt{\tfrac{2}{3}} =-\frac{4}{3}\,\sqrt{\tfrac{2}{3}},
f\bigl(-a\bigr) =(-a)^{3}-2(-a) =-\frac{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{3}+2\sqrt{\tfrac{2}{3}} =\frac{4}{3}\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Avaliamos f nos extremos do intervalo:
f(2)=2^{3}-2\cdot2=8-4=4,
f(-2)=(-2)^{3}-2\cdot(-2)=-8+4=-4.

Passo 5

Comparemos os quatro valores obtidos:
f(-2)=-4, \quad f\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)=-\tfrac{4}{3}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx-1{,}09, \quad f\bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)=\tfrac{4}{3}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx1{,}09, \quad f(2)=4.
O menor dentre eles é -4 em x=-2 e o maior é 4 em x=2.

Resposta

O valor mínimo de f em [-2,2] é -4, atingido em x=-2.
O valor máximo de f em [-2,2] é 4, atingido em x=2.

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