Encontre o máximo, mínimo e ponto de sela da equação
Passo 1
A questão pede para encontrar pontos críticos (máximos locais, mínimos locais e pontos de sela) da função de duas variáveis f(x,y)=10 x^{2}+30 x y+25 y^{2}+40 y^{5}. Vamos usar cálculo de pontos críticos pela condição ∇f=0 e classificação pela matriz Hessiana.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais:
A derivada parcial em relação a x é
A derivada parcial em relação a y é
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema ∇f=0:
Da primeira equação
Substituindo na segunda:
Logo as soluções são
E
Passo 4
A matriz Hessiana de f é
Passo 5
Agora vamos avaliar e classificar cada ponto:
No ponto (0,0):
Isso implica mínimo local em (0,0).
No ponto
: temos
, então
Determinante negativo sinaliza ponto de sela.
Passo 6
Analisando o comportamento para |y| grande, f vai a +∞ para y→+∞ e a −∞ para y→−∞, então não há máximo local.
Resposta
Mínimo local em (0,0) com f(0,0)=0; ponto de sela em
; não existe máximo local.