Encontre o máximo, mínimo e ponto de sela da equação f(x, y)=10 x^2+30 x y+25 y^2+40 y^5

Passo 1

A questão pede para encontrar pontos críticos (máximos locais, mínimos locais e pontos de sela) da função de duas variáveis f(x,y)=10 x^{2}+30 x y+25 y^{2}+40 y^{5}. Vamos usar cálculo de pontos críticos pela condição ∇f=0 e classificação pela matriz Hessiana.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais:
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=20x+30y
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=30x+50y+200y^4

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema ∇f=0:
Da primeira equação
20x+30y=0implies x=-3020y=-1,5y
Substituindo na segunda:
30(-1,5y)+50y+200y^4=-45y+50y+200y^4=5y+200y^4=5y(1+40y^3)=0
Logo as soluções são
y=0ou y^3=-tfrac140implies y=-l(40r)^-1/3
E
x=-1,5yimplies (x,y)=(0,0)el(1,5,40^-1/3,,-40^-1/3r)

Passo 4

A matriz Hessiana de f é

Passo 5

Agora vamos avaliar e classificar cada ponto:
No ponto (0,0):
fxx=20>0, fyy=50>0, det H=20cdot50-30^2=1000-900=100>0
Isso implica mínimo local em (0,0).
No ponto y=-40^-1/3: temos y^3=-1/40, então
fxx=20, fyy=50+800l(-1/40r)=50-20=30, det H=20cdot30-30^2=600-900=-300<0
Determinante negativo sinaliza ponto de sela.

Passo 6

Analisando o comportamento para |y| grande, f vai a +∞ para y→+∞ e a −∞ para y→−∞, então não há máximo local.

Resposta

Mínimo local em (0,0) com f(0,0)=0; ponto de sela em l(1,5,40^-1/3,,-40^-1/3r); não existe máximo local.

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