Resolva as EDs utilizando separação de variáveis, e explicite a solução quando necessário.
d zd t+e^t+z=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO dzdt + e^t+z = 0. O conteúdo é separação de variáveis: vamos reescrever a equação de modo a isolar todas as ocorrências de z num lado e de t no outro.

Passo 2

Reescrevendo
dzdt = -,e^t+z
e usando e^t+z=e^t e^z, obtemos
dzdt = -,e^t e^z

Passo 3

Separamos as variáveis movendo e^z para o denominador do lado de dz e e^t para o lado de dt:
e^-z,dz = -,e^t,dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^-z,dz = integral -,e^t,dt
O resultado é
-,e^-z = -,e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por -1 e definindo K = -C, chega-se a
e^-z = e^t + K
Tomando logaritmo natural,
-,z = lnl(e^t + Kr) Longrightarrow z(t) = -,lnl(e^t + Kr),
com K constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é
z(t) = -lnl(e^t + Kr),
onde K é a constante de integração.

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