• (2 2^ a Questão - 1,5 ponto) Calcule o valor do limite abaixo:
    lim x -1 raiz5+x-2raiz[3]x+1. limite com raizes

Passo 1

Estamos buscando o limite de
raiz5+x-2raiz[3]x+1
quando xto -1. Trata-se de um limite que dá forma 0/0 e envolve raízes quadrada e cúbica, então vamos usar técnicas de mudança de variável e de racionalização.

Passo 2

Para simplificar a parte que envolve a raiz cúbica, fazemos a mudança de variável
u = raiz[3]x, logo x = u^3
Quando xto -1, temos uto -1. Substituindo na expressão original, o limite vira
limuto -1 raiz5+u^3-2u+1

Passo 3

Repare que o numerador raiz5+u^3-2 pode ser racionalizado usando o conjugado raiz5+u^3+2. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
raiz5+u^3-2u+1 ;cdot; raiz5+u^3+2raiz5+u^3+2 = (5+u^3)-4(u+1)l(raiz5+u^3+2r)

Passo 4

No numerador fica
(5+u^3)-4 = u^3+1,
e reconhecemos a fatoração
u^3+1 = (u+1)(u^2 - u + 1)
Cancelando o fator (u+1) com o denominador, obtemos
u^2 - u + 1raiz5+u^3+2

Passo 5

Agora basta pôr u=-1 na expressão simplificada. Calculamos
u^2 - u + 1l|u=-1 = (-1)^2 -(-1) +1 = 1 +1 +1 = 3,
raiz5+u^3+2l|u=-1 = raiz5+(-1)^3+2 = raiz4+2 = 2+2 = 4
Logo o limite vale
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Resposta

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