Encontre os máximos e mínimos.
f(x, y)=y^{2}-x^{2}, 1 / 4 x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x,y)=y^{2}-x^{2} sujeitos à restrição \frac{1}{4}x^{2}+y^{2}=1. Isso é um problema de otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que diz que nos pontos críticos vale
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde g(x,y)=\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-1=0.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(-2x,\;2y),
\nabla g(x,y)=\Bigl(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{2}x,\;2y\Bigr).
O sistema de Lagrange fica
-2x = \lambda\,\frac{1}{2}x, \quad 2y = \lambda\,2y, \quad \frac{1}{4}x^{2}+y^{2}=1.

Passo 3

Das duas primeiras igualdades obtemos
-2x = \frac{\lambda x}{2}\implies (\lambda+4)x=0, \quad 2y = 2\lambda y\implies (\lambda-1)y=0.
Analisamos casos:
  1. x=0. Da restrição segue y^{2}=1, então y=\pm1. Aqui y\neq0 força \lambda=1.
    O valor de f é
    f(0,\pm1)=(\pm1)^{2}-0^{2}=1.
  2. y=0. Da restrição segue \frac{1}{4}x^{2}=1, logo x=\pm2. Aqui x\neq0 força \lambda=-4.
    O valor de f é
    f(\pm2,0)=0 - (\pm2)^{2}=-4.

Passo 4

Comparamos os valores obtidos:
  • Em (0,\pm1), f=1.
  • Em (\pm2,0), f=-4.
    Logo o valor máximo de f sob a restrição é 1 e o mínimo é -4.

Resposta

Pontos de máximo: (0,1) e (0,-1), com valor f=1.
Pontos de mínimo: (2,0) e (-2,0), com valor f=-4.

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