Encontre os máximos e mínimos.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeitos à restrição
. Isso é um problema de otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que diz que nos pontos críticos vale
onde
.
Passo 2
Calculamos os gradientes:
O sistema de Lagrange fica
Passo 3
Das duas primeiras igualdades obtemos
Analisamos casos:
-
. Da restrição segue , então . Aqui força .
O valor deé -
. Da restrição segue , logo . Aqui força .
O valor deé
Passo 4
Comparamos os valores obtidos:
- Em
, . - Em
, .
Logo o valor máximo desob a restrição é e o mínimo é .
Resposta
Pontos de máximo:
e
, com valor
.
Pontos de mínimo: e
, com valor
.
Pontos de mínimo: