Extra 9. (integral com módulo) \int_{-2}^{2} x\left|x^{2}-2 x\right| d x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral com valor absoluto
\int_{-2}^{2} x\bigl|x^{2}-2x\bigr|\,dx.
O conteúdo principal aqui é o tratamento de valor absoluto: vamos dividir o intervalo de integração em partes em que o termo dentro de \lvert\cdot\rvert seja não negativo ou negativo, e aí remover o módulo fazendo a troca \lvert u\rvert = u se u\ge0 ou \lvert u\rvert = -u se u<0.
Passo 2
Identificamos o sinal de x^{2}-2x = x(x-2) no intervalo [-2,2]. As raízes são x=0 e x=2.
Para x\in[-2,0], temos x<0 e x-2<0, logo x(x-2)>0.
Para x\in[0,2], temos x\ge0 e x-2\le0, logo x(x-2)\le0.