Extra 9. (integral com módulo)
\int_{-2}^{2} x\left|x^{2}-2 x\right| d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral com valor absoluto
\int_{-2}^{2} x\bigl|x^{2}-2x\bigr|\,dx.
O conteúdo principal aqui é o tratamento de valor absoluto: vamos dividir o intervalo de integração em partes em que o termo dentro de \lvert\cdot\rvert seja não negativo ou negativo, e aí remover o módulo fazendo a troca \lvert u\rvert = u se u\ge0 ou \lvert u\rvert = -u se u<0.

Passo 2

Identificamos o sinal de x^{2}-2x = x(x-2) no intervalo [-2,2]. As raízes são x=0 e x=2.
  • Para x\in[-2,0], temos x<0 e x-2<0, logo x(x-2)>0.
  • Para x\in[0,2], temos x\ge0 e x-2\le0, logo x(x-2)\le0.
Portanto
\bigl|x^{2}-2x\bigr|= \begin{cases} x^{2}-2x,& x\in[-2,0],\\\\ -(x^{2}-2x)=2x-x^{2},& x\in[0,2]. \end{cases}
A integral se divide em
\int_{-2}^{2} x\bigl|x^{2}-2x\bigr|\,dx =\int_{-2}^{0} x(x^{2}-2x)\,dx +\int_{0}^{2} x(2x-x^{2})\,dx.

Passo 3

Calcular
\int_{-2}^{0} x(x^{2}-2x)\,dx =\int_{-2}^{0}\bigl(x^{3}-2x^{2}\bigr)\,dx.
Em bloco:
\int\bigl(x^{3}-2x^{2}\bigr)\,dx =\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}.
Avaliando de -2 a 0:
\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}\right]_{-2}^{0} =\Bigl(0\Bigr)-\Bigl(\frac{(-2)^{4}}{4}-\frac{2(-2)^{3}}{3}\Bigr) =-\Bigl(4 + \frac{16}{3}\Bigr) =-\frac{28}{3}.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{2} x(2x-x^{2})\,dx =\int_{0}^{2}\bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.
Em bloco:
\int\bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx =\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}.
Avaliando de 0 a 2:
\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\Bigl(\frac{16}{3}-4\Bigr)-0 =\frac{16-12}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 5

Agora somamos as duas partes:
\int_{-2}^{2} x\bigl|x^{2}-2x\bigr|\,dx =-\frac{28}{3}+\frac{4}{3} =-\frac{24}{3} =-8.

Resposta

-8

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