4- Um peso de 4 N distende uma mola de 2 m . O peso é liberado a partir do repouso 18 m acima da posição de equilíbrio, e o movimento resultante ocorre em um meio que ofeece uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 vezes a velocidade instantânea. Use a transformada de Laplace para determinar a equação do movimento
.
Passo 1
O peso de
N estica a mola
m, logo a constante elástica é
Como
N e
m/
, a massa é
A força de amortecimento é
, portanto o coeficiente é
Tomamos
como o deslocamento a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. Ao soltar o peso
m acima do equilíbrio, temos as condições iniciais
O modelo é
Passo 2
Substituindo
,
e
na equação, obtemos
Multiplicando tudo por
,
Dividindo por
, tem-se
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em
Como
e
, obtemos
Agrupando
,
logo
Passo 4
Escrevemos o denominador na forma de quadrado perfeito. Note que
pois
e
. Então
Para inverter, usamos
Passo 5
Reconhecendo
e
, definimos
Portanto a solução é