4- Um peso de 4 N distende uma mola de 2 m . O peso é liberado a partir do repouso 18 m acima da posição de equilíbrio, e o movimento resultante ocorre em um meio que ofeece uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 vezes a velocidade instantânea. Use a transformada de Laplace para determinar a equação do movimento x(t).

Passo 1

O peso de 4 N estica a mola 2 m, logo a constante elástica é
k = \frac{4}{2} = 2\\ \text{N/m}.
Como W=mg=4 N e g=9{,}8 m/ s^{2}, a massa é
m = \frac{4}{9{,}8} = \frac{2}{4{,}9}.
A força de amortecimento é F_d = \tfrac{7}{8}v, portanto o coeficiente é
c = \frac{7}{8}.
Tomamos x(t) como o deslocamento a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. Ao soltar o peso 18 m acima do equilíbrio, temos as condições iniciais
x(0) = -18,\quad x'(0)=0.
O modelo é
m\,x''(t) + c\,x'(t) + k\,x(t) = 0.

Passo 2

Substituindo m, c e k na equação, obtemos
\frac{4}{9{,}8}\,x''(t) + \frac{7}{8}\,x'(t) + 2\,x(t) = 0.
Multiplicando tudo por 9{,}8,
4\,x''(t) + 8{,}575\,x'(t) + 19{,}6\,x(t) = 0.
Dividindo por 4, tem-se
x''(t) + 2{,}14375\,x'(t) + 4{,}9\,x(t) = 0.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em
x''(t) + 2{,}14375\,x'(t) + 4{,}9\,x(t) = 0.
Como \mathcal L\{x''\} = s^2 X(s)-s\,x(0)-x'(0) e \mathcal L\{x'\}=sX(s)-x(0), obtemos
[s^2X(s)-s(-18)-0]+2{,}14375\,[sX(s)-(-18)]+4{,}9\,X(s)=0.
Agrupando X(s),
X(s)\bigl(s^2+2{,}14375\,s+4{,}9\bigr) = -18\,s -2{,}14375\cdot(-18),
logo
X(s) = \frac{-18\,(s+2{,}14375)}{s^2+2{,}14375\,s+4{,}9}.

Passo 4

Escrevemos o denominador na forma de quadrado perfeito. Note que
s^2+2{,}14375\,s+4{,}9 =\bigl(s+1{,}071875\bigr)^2+1{,}93651^2,
pois \tfrac{2{,}14375}{2}=1{,}071875 e 4{,}9-1{,}071875^2=1{,}93651^2. Então
X(s) = -18\,\frac{s+1{,}071875+1{,}071875} {(s+1{,}071875)^2+1{,}93651^2} = -18\,\frac{s+1{,}071875}{(s+1{,}071875)^2+1{,}93651^2} -18\cdot\frac{1{,}071875}{(s+1{,}071875)^2+1{,}93651^2}.
Para inverter, usamos
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2}\Bigr\} = e^{-\alpha t}\cos(\beta t), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2}\Bigr\} = e^{-\alpha t}\sin(\beta t).

Passo 5

Reconhecendo \alpha=1{,}071875 e \beta=1{,}93651, definimos
A=-18, \quad B=-18\cdot\frac{1{,}071875}{1{,}93651}\approx -9{,}9655.
Portanto a solução é
x(t) = e^{-1{,}071875\,t}\bigl[A\cos(1{,}93651\,t)+B\sin(1{,}93651\,t)\bigr].

Resposta

x(t) = e^{-1{,}071875\,t}\bigl(-18\cos(1{,}93651\,t)\;-\;9{,}9655\sin(1{,}93651\,t)\bigr).

Exercícios relacionados