3- Use a transformada de Laplace para resolver o sistema \left\{\begin{array}{l}x^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 x=0 \\\\ 2 x^{\prime}-y^{\prime}=\cos t\end{array}\right., sujeito às condições iniciais x(0)=0, x^{\prime}(0)=0 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema
\begin{cases} x''(t)+y'(t)+2\,x(t)=0,\\\\ 2\,x'(t)-y'(t)=\cos t, \end{cases}
com x(0)=0, x'(0)=0 e y(0)=0, usando transformada de Laplace. Para isso precisamos conhecer as transformadas de derivadas, resolver o sistema algébrico em s, fazer frações parciais e inverter de volta.

Passo 2

Definimos
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\},\qquad Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Aplicando Laplace em cada equação e usando x(0)=0, x'(0)=0, y(0)=0:
\mathcal{L}\{x''\}=s^2X(s),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s),
s^2X(s)+s\,Y(s)+2X(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad (s^2+2)\,X(s)+s\,Y(s)=0.
E
\mathcal{L}\{2x'\}=2sX(s),\quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s),\quad \mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^2+1},
2sX(s)-s\,Y(s)=\frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Temos o sistema em X\) e \(Y\): \[\begin{cases} (s^2+2)\,X(s)+s\,Y(s)=0,\\\\ 2s\,X(s)-s\,Y(s)=\dfrac{s}{s^2+1}. \end{cases}
Da primeira equação s\,Y(s)=-(s^2+2)X(s)\], então \(Y(s)=-\tfrac{s^2+2}{s}X(s). Substituindo na segunda:
2sX(s)+(\,s^2+2\,)X(s)=\frac{s}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad X(s)\bigl(s^2+2s+2\bigr)=\frac{s}{s^2+1}.
Logo
X(s)=\frac{s}{(s^2+1)\,(s^2+2s+2)}, \qquad Y(s)=-\frac{s^2+2}{(s^2+1)\,(s^2+2s+2)}.

Passo 4

Para inverter X(s)\) fazemos frações parciais. Como \(s^2+2s+2=(s+1)^2+1\), assuma \[X(s)=\frac{A\,s+B}{s^2+1}+\frac{C\,s+D}{(s+1)^2+1}.
Igualando numeradores:
s=(A\,s+B)\bigl((s+1)^2+1\bigr)+(C\,s+D)(s^2+1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\\\ 2A+B+D=0,\\\\ 2A+2B+C=1,\\\\ 2B+D=0, \end{cases}
cuja solução é A=\tfrac15\], \(B=\tfrac25, C=-\tfrac15, D=-\tfrac45. Assim
X(s)=\frac{1/5\,(s+2)}{s^2+1}-\frac{1/5\,(s+4)}{(s+1)^2+1}.

Passo 5

Invertemos termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s+2}{s^2+1}\Bigr\} =\cos t+2\sin t, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s+4}{(s+1)^2+1}\Bigr\} =e^{-t}\cos t+3e^{-t}\sin t.
Logo
x(t)=\frac15\Bigl[\cos t+2\sin t\Bigr] -\frac15\Bigl[e^{-t}\cos t+3e^{-t}\sin t\Bigr].

Passo 6

Para Y(s)=-\frac{s^2+2}{(s^2+1)((s+1)^2+1)}\) fazemos ansatz \[Y(s)=\frac{E\,s+F}{s^2+1}+\frac{G\,s+H}{(s+1)^2+1}.
Igualando numeradores de
-(s^2+2)=(Es+F)((s+1)^2+1)+(Gs+H)(s^2+1),
obtém-se o sistema
\begin{cases} E+G=0,\\\\ 2E+F+H=-1,\\\\ 2E+2F+G=0,\\\\ 2F+H=-2, \end{cases}
com solução E=\tfrac25\], \(F=-\tfrac15, G=-\tfrac25, H=-\tfrac85. Logo
Y(s) =\frac{1/5\,(2s-1)}{s^2+1}-\frac{1/5\,(2s+8)}{(s+1)^2+1}.

Passo 7

Invertemos termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{2s-1}{s^2+1}\Bigr\} =2\cos t-\sin t, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{2s+8}{(s+1)^2+1}\Bigr\} =2e^{-t}\cos t+6e^{-t}\sin t.
Portanto
y(t)=\frac15\Bigl[2\cos t-\sin t\Bigr] -\frac15\Bigl[2e^{-t}\cos t+6e^{-t}\sin t\Bigr].

Resposta

x(t)=\frac{1}{5}\bigl[\cos t+2\sin t -e^{-t}(\cos t+3\sin t)\bigr],
y(t)=\frac{1}{5}\bigl[2\cos t-\sin t -2e^{-t}(\cos t+3\sin t)\bigr].

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