Extra 9. (integral com módulo)
\int_{-3}^{3} \sqrt{1+|x|} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-3}^{3} \sqrt{1+|x|}\,dx.
O conteúdo é integração de função que envolve valor absoluto. Para resolver, vamos usar a propriedade de simetria de funções pares e depois calcular uma integral simples.

Passo 2

Observamos que a função
f(x)=\sqrt{1+|x|}
é par, pois |-x|=|x| implica f(-x)=f(x). Para funções pares vale
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com a=3, temos
\int_{-3}^{3} \sqrt{1+|x|}\,dx = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{1+x}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{3} \sqrt{1+x}\,dx, fazemos a substituição
u = 1 + x, \quad du = dx,
e quando x=0, u=1; quando x=3, u=4. Logo
\int_{0}^{3} \sqrt{1+x}\,dx = \int_{1}^{4} \sqrt{u}\,du.

Passo 5

Sabemos que
\int \sqrt{u}\,du = \int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Então
\int_{1}^{4} \sqrt{u}\,du = \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}(8-1) = \frac{14}{3}.

Passo 6

Voltando ao integral original, multiplicamos por 2:
\int_{-3}^{3} \sqrt{1+|x|}\,dx = 2 \times \frac{14}{3} = \frac{28}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{28}{3}

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