Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s}, onde \mathbf{F} é o campo vetorial em \mathbb{R}^{3} dado por \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y z, z(x+2 y), x y+y^{2}+2 z\right) e C é a curva \sigma(t)=\left(t^{3}+1, \cos ^{3}(\pi t), t^{4}-t^{3}\right),-1 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=(P,Q,R) com
P=y\,z,\quad Q=z(x+2y),\quad R=xy+y^2+2z
e C é a curva \sigma(t)=(t^3+1,\cos^3(\pi t),\,t^4-t^3), -1\le t\le2.
Como se sugere usar a versão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, vamos verificar se \mathbf{F} é campo conservativo (i.e.\ \mathbf{F}=\nabla\varphi) e, em caso positivo, achar um potencial \varphi.

Passo 2

Verificamos as condições de integrabilidade (curl \mathbf{F}=0):
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial(yz)}{\partial y}=z,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial[z(x+2y)]}{\partial x}=z,
\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial(yz)}{\partial z}=y,\quad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial(xy+y^2+2z)}{\partial x}=y,
\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial[z(x+2y)]}{\partial z}=x+2y,\quad \frac{\partial R}{\partial y} =\frac{\partial(xy+y^2+2z)}{\partial y}=x+2y.
Como todas as igualdades conferem, \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial \varphi(x,y,z) resolvemos
\partial\varphi/\partial x=P=y z.
Integrando em x
\varphi(x,y,z)=x\,y\,z+g(y,z).
Então
\partial\varphi/\partial y=xz+\partial g/\partial y deve ser Q=zx+2yz, logo
\partial g/\partial y=2yz. Integrando em y resulta
g(y,z)=\int2y\,z\,dy=y^2z+h(z).
Por fim,
\partial\varphi/\partial z=xy+y^2+h'(z) deve ser R=xy+y^2+2z, o que implica h'(z)=2z e assim
h(z)=z^2+C.
Podemos escolher C=0. Logo
\varphi(x,y,z)=x\,y\,z+y^2z+z^2.

Passo 4

Pelos limites de t, o ponto inicial é
\sigma(-1)=\bigl((-1)^3+1,\cos^3(-\pi),(-1)^4-(-1)^3\bigr) =(0,-1,2),
e o ponto final é
\sigma(2)=\bigl(2^3+1,\cos^3(2\pi),2^4-2^3\bigr) =(9,1,8).
Calculamos
\varphi\bigl(\sigma(2)\bigr) =9\cdot1\cdot8+1^2\cdot8+8^2=72+8+64=144,
\varphi\bigl(\sigma(-1)\bigr) =0\cdot(-1)\cdot2+(-1)^2\cdot2+2^2=0+2+4=6.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} =\varphi\bigl(\sigma(2)\bigr)-\varphi\bigl(\sigma(-1)\bigr) =144-6=138.

Resposta

138

Exercícios relacionados