Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
com
e
é a curva
,
.
Como se sugere usar a versão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, vamos verificar se é campo conservativo (i.e.\
) e, em caso positivo, achar um potencial
.
Como se sugere usar a versão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, vamos verificar se
Passo 2
Verificamos as condições de integrabilidade (curl
):
Como todas as igualdades conferem,
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
resolvemos
.
Integrando em dá
Integrando em
Então
deve ser
, logo
. Integrando em
resulta
Por fim,
deve ser
, o que implica
e assim
Podemos escolher
. Logo
Passo 4
Pelos limites de
, o ponto inicial é
e o ponto final é
Calculamos
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,