Encontre os máximos e mínimos da função
no quadrado
Passo 1
O enunciado pede os extremos globais de
no quadrado
Vamos usar cálculo: primeiro achamos pontos críticos no interior resolvendo
, depois examinamos as quatro arestas de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Para ter
precisamos
Da segunda vem
. Substituindo em
qualquer
satisfaz, mas então todo ponto crítico teria
, ou seja estaria na fronteira de
. Não há pontos críticos no interior aberto
.
Passo 3
Analisamos a aresta
.
Nesse caso
Nesse caso
para todo
.
Passo 4
Analisamos a aresta
.
Nesse caso
Nesse caso
para todo
.
Passo 5
Analisamos a aresta
.
Temos
Temos
com
. O valor mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 6
Analisamos a aresta
.
Temos
Temos
com
. O valor mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 7
Comparando todos os casos: o menor valor que
atinge em
é
, e o maior é
.
Resposta
O mínimo global vale
, atingido em todos os pontos de
tais que
ou
.
O máximo global vale , atingido em
.
O máximo global vale