Encontre os máximos e mínimos da função f(x, y)=x^{2} y no quadrado
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de f(x,y)=x^2y no quadrado
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
Vamos usar cálculo: primeiro achamos pontos críticos no interior resolvendo \nabla f=0, depois examinamos as quatro arestas de A.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^2.
Para ter \nabla f=0 precisamos
2xy=0, \quad x^2=0.
Da segunda vem x=0. Substituindo em 2xy=0 qualquer y satisfaz, mas então todo ponto crítico teria x=0, ou seja estaria na fronteira de A. Não há pontos críticos no interior aberto (0,1)\times(0,1).

Passo 3

Analisamos a aresta x=0.
Nesse caso
f(0,y)=0^2\cdot y=0,
para todo y\in[0,1].

Passo 4

Analisamos a aresta y=0.
Nesse caso
f(x,0)=x^2\cdot0=0,
para todo x\in[0,1].

Passo 5

Analisamos a aresta x=1.
Temos
f(1,y)=1^2\cdot y=y,
com y\in[0,1]. O valor mínimo é 0 em y=0 e o máximo é 1 em y=1.

Passo 6

Analisamos a aresta y=1.
Temos
f(x,1)=x^2,
com x\in[0,1]. O valor mínimo é 0 em x=0 e o máximo é 1 em x=1.

Passo 7

Comparando todos os casos: o menor valor que f atinge em A é 0, e o maior é 1.

Resposta

O mínimo global vale 0, atingido em todos os pontos de A tais que x=0 ou y=0.
O máximo global vale 1, atingido em (1,1).

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