Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s}, onde \mathbf{F} é o campo vetorial em \mathbb{R}^{2} dado por \mathbf{F}(x, y)=(1+\operatorname{cosh} y, x \operatorname{sinh} y) e a curva C é dada por \sigma(t)=(\sin t, 2 t / \pi), 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s},
onde \mathbf{F}(x,y)=(1+\operatorname{cosh} y,\;x\operatorname{sinh} y) e C é a curva parametrizada por
\sigma(t)=(\sin t,\;2t/\pi),\quad 0\le t\le\pi/2.
Como estamos em \mathbb{R}^2 e a curva é suave, vamos verificar se \mathbf{F} é um campo conservativo e então usar a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Checamos se \mathbf{F} é conservativo calculando
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+\operatorname{cosh} y\bigr)=\operatorname{sinh} y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\operatorname{sinh} y\bigr)=\operatorname{sinh} y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conectado). Logo existe potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=1+\operatorname{cosh} y, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Para achar \varphi, integramos \partial\varphi/\partial x em relação a x:
\varphi(x,y)=\int\bigl(1+\operatorname{cosh} y\bigr)\,dx = x + x\operatorname{cosh} y + C(y).
Derivando em y e igualando a Q
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = x\operatorname{sinh} y + C'(y) \stackrel!=x\operatorname{sinh} y \quad\Longrightarrow\quad C'(y)=0.
Assim podemos tomar C(y)= constante zero, ficando
\varphi(x,y)=x\bigl(1+\operatorname{cosh} y\bigr).

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo para \mathbf{F} conservativo,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} =\varphi\bigl(\sigma(\pi/2)\bigr)-\varphi\bigl(\sigma(0)\bigr).
Temos \sigma(0)=(0,0) e \sigma(\pi/2)=(1,1). Então
\varphi(0,0)=0\,, \qquad \varphi(1,1)=1\bigl(1+\operatorname{cosh} 1\bigr)=1+\operatorname{cosh} 1.
Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=1+\operatorname{cosh} 1.

Resposta

1+\operatorname{cosh} 1

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