Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a curva parametrizada por
Como estamos em
e a curva é suave, vamos verificar se
é um campo conservativo e então usar a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Checamos se
é conservativo calculando
Como
,
é conservativo em
(domínio simplesmente conectado). Logo existe potencial
tal que
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
dá
Assim podemos tomar
constante zero, ficando
Passo 4
Pelo teorema fundamental do cálculo para
conservativo,
Temos
e
. Então
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