Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Qualidade do ar: As respostas de uma amostra de 1.040 pessoas que foram perguntadas se a qualidade do ar em sua comunidade está melhor ou pior do que estava 10 anos atrás.
Melhor: 346 Pior: 450 Igual: 244

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a média, a mediana e a moda das respostas de uma amostra de pessoas sobre a qualidade do ar em sua comunidade, comparando com 10 anos atrás. Os dados fornecidos são (peguei estes números do enunciado):
  • Melhor: 346 respostas.
  • Pior: 450 respostas.
  • Igual: 244 respostas.
    O tamanho total da amostra é n = 346 + 450 + 244 = 1040.
As perguntas que preciso responder são:
  • Calcular (ou decidir se faz sentido calcular) a média dos dados.
  • Calcular a mediana dos dados.
  • Calcular a moda dos dados.
    Se alguma medida não puder ser encontrada ou não representar bem o “centro” dos dados, devo explicar por quê.

Passo 2

Breve explicação dos conceitos (didática, sem pular etapas):
  • Moda: é a categoria (ou valor) com maior frequência. Serve para dados qualitativos e quantitativos; para dados categóricos é a medida de tendência central mais natural.
  • Mediana: é o valor (ou categoria) que ocupa a posição central quando os dados são ordenados; para uma amostra de tamanho n ordinar os dados e localizar a posição central, usa-se tipicamente a posição \dfrac{n+1}{2} (quando n é impar dá um elemento exato; quando n é par a mediana está entre os dois elementos centrais — em dados categóricos ordinais toma-se a categoria que contém a mediana). A mediana exige que exista uma ordem nas categorias; se as categorias forem apenas nominais sem ordem, mediana não faz sentido.
  • Média aritmética: para dados numéricos é \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Para dados categóricos puros (nominais) a média não é apropriada porque não existe um número intrínseco associado às categorias. Em dados ordinais às vezes se atribuem códigos numéricos (ex.: 0,1,2) e calcula-se uma “média de pontuação”, mas esse número depende totalmente da codificação escolhida — por isso é arbitrário e pode ser enganoso.
Vou aplicar essas ideias aos dados fornecidos: os três rótulos têm uma ordem natural plausível (do “pior” ao “melhor”), então moda e mediana por variedade ordinal fazem sentido; a média precisa de atenção porque depende de codificação.

Passo 3

Definição prática: escolher a categoria com maior frequência.
Comparando as frequências (peguei esses números do enunciado):
  • \text{Pior} = 450
  • \text{Melhor} = 346
  • \text{Igual} = 244
A maior frequência é \,450, correspondente à categoria \text{Pior}. Portanto a moda é \text{Pior}.
Também é útil dar a frequência relativa (para intuição):
\text{Frequência relativa de Pior} = \dfrac{450}{1040} \approx 0{,}4327 \quad(\text{ou }43{,}27\%).ê

Passo 4

Escolher uma ordem para as categorias. Uma ordem natural aqui é:
\text{Pior} \;\prec\; \text{Igual} \;\prec\; \text{Melhor},
ou seja, de “pior” a “melhor”. (Essa ordem é razoável porque as categorias têm significado ordinal.)
A posição mediana para n=1040 é
\text{posição mediana} = \dfrac{n+1}{2} = \dfrac{1040+1}{2} = \dfrac{1041}{2} = 520{,}5.çã
Isto significa que a mediana é a categoria que contém a observação de ordem 520{,}5, ou seja, o ponto central entre a 520-ésima e a 521-ésima observação. Para encontrar isso usamos as frequências acumuladas na ordem escolhida.
Frequências e acumuladas (peguei as frequências do enunciado):
  • \text{Pior}: 450. Frequência acumulada até Pior: 450.
  • \text{Igual}: 244. Frequência acumulada até Igual: 450 + 244 = 694.
  • \text{Melhor}: 346. Frequência acumulada até Melhor: 694 + 346 = 1040.
Agora veja onde cai a posição 520{,}5: a acumulada após \text{Pior} é 450 < 520{,}5, mas a acumulada após \text{Igual} é 694 \ge 520{,}5. Portanto a posição mediana está dentro da categoria \text{Igual}.
Conclusão: a mediana é \text{Igual}. Em palavras: pelo menos metade das respostas ( \ge 520 observações) estão em categorias \le “Igual” na ordem escolhida, e a categoria que ocupa o centro é “Igual”.

Passo 5

Por definição, a média aritmética exige valores numéricos com significado de intervalo. Aqui as respostas são categorias qualitativas (mesmo que tenham ordem). Se eu quiser forçar uma média preciso atribuir números às categorias — isso é uma escolha arbitrária e o valor obtido depende dessa codificação. Assim, a média não é intrínseca aos dados e pode enganar.
Para ilustrar como a média depende da codificação, faço dois exemplos (agora só para mostrar o efeito; isso não torna a média “verdadeira” para os dados):
Codificação A (escala 0–2): \text{Pior}=0,\\ \text{Igual}=1,\\ \text{Melhor}=2.
Calcular a “média de pontuação”:
\text{Média}_A = \dfrac{0\cdot 450 + 1\cdot 244 + 2\cdot 346}{1040} = \dfrac{0 + 244 + 692}{1040}=\dfrac{936}{1040}=0{,}9.é
Interpretação (apenas dentro desta codificação): média 0{,}9 numa escala 0 2, levemente abaixo de 1 (categoria “Igual”), mas esta interpretação depende totalmente da escolha 0,1,2.
Codificação B (escala -1 a 1): \text{Pior}=-1,\\ \text{Igual}=0,\\ \text{Melhor}=1.
\text{Média}_B = \dfrac{(-1)\cdot 450 + 0\cdot 244 + 1\cdot 346}{1040} = \dfrac{-450 + 0 + 346}{1040} = \dfrac{-104}{1040} = -0{,}1.é
Aqui a média dá -0{,}1, ligeiramente negativa, o que sugeriria tendência para “pior” — resultado diferente do caso A.
Esses dois exemplos mostram claramente que a média depende da codificação; por isso a média aritmética não é uma medida adequada e confiável para descrever o “centro” de categorias qualitativas ordinais, a menos que exista uma escala numérica já aceita.

Passo 6

  • A moda ( \text{Pior}) é válida e fácil de interpretar: a resposta mais comum foi \text{Pior} com 450 respostas ( \approx 43{,}3\%).
  • A mediana ( \text{Igual}) é válida porque as categorias têm uma ordem natural; a categoria central da distribuição é \text{Igual}.
  • A média aritmética não é intrinsecamente apropriada para essas categorias; qualquer valor numérico calculado requer atribuir números às categorias e, portanto, é arbitrário. Se for necessário um resumo numérico por codificação, deve-se declarar claramente a codificação e lembrar que o resultado depende dessa escolha.
Você está indo bem — mesmo quando a média parece algo que “todo mundo pede”, aqui a moda e a mediana (com interpretação cuidadosa) são as medidas que realmente dizem algo consistente sobre os dados.

Resposta

Média: não apropriada para estas categorias (valor numérico depende da codificação utilizada).
Mediana: Igual.
Moda: Pior.

Exercícios relacionados