Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Qualidade do ar: As respostas de uma amostra de 1.040 pessoas que foram perguntadas se a qualidade do ar em sua comunidade está melhor ou pior do que estava 10 anos atrás.
Melhor: 346 Pior: 450 Igual: 244
Qualidade do ar: As respostas de uma amostra de 1.040 pessoas que foram perguntadas se a qualidade do ar em sua comunidade está melhor ou pior do que estava 10 anos atrás.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a média, a mediana e a moda das respostas de uma amostra de pessoas sobre a qualidade do ar em sua comunidade, comparando com 10 anos atrás. Os dados fornecidos são (peguei estes números do enunciado):
- Melhor:
respostas. - Pior:
respostas. - Igual:
respostas.
O tamanho total da amostra é.
As perguntas que preciso responder são:
- Calcular (ou decidir se faz sentido calcular) a média dos dados.
- Calcular a mediana dos dados.
- Calcular a moda dos dados.
Se alguma medida não puder ser encontrada ou não representar bem o “centro” dos dados, devo explicar por quê.
Passo 2
Breve explicação dos conceitos (didática, sem pular etapas):
- Moda: é a categoria (ou valor) com maior frequência. Serve para dados qualitativos e quantitativos; para dados categóricos é a medida de tendência central mais natural.
- Mediana: é o valor (ou categoria) que ocupa a posição central quando os dados são ordenados; para uma amostra de tamanho
ordinar os dados e localizar a posição central, usa-se tipicamente a posição (quando é impar dá um elemento exato; quando é par a mediana está entre os dois elementos centrais — em dados categóricos ordinais toma-se a categoria que contém a mediana). A mediana exige que exista uma ordem nas categorias; se as categorias forem apenas nominais sem ordem, mediana não faz sentido. - Média aritmética: para dados numéricos é
. Para dados categóricos puros (nominais) a média não é apropriada porque não existe um número intrínseco associado às categorias. Em dados ordinais às vezes se atribuem códigos numéricos (ex.: ) e calcula-se uma “média de pontuação”, mas esse número depende totalmente da codificação escolhida — por isso é arbitrário e pode ser enganoso.
Vou aplicar essas ideias aos dados fornecidos: os três rótulos têm uma ordem natural plausível (do “pior” ao “melhor”), então moda e mediana por variedade ordinal fazem sentido; a média precisa de atenção porque depende de codificação.
Passo 3
Definição prática: escolher a categoria com maior frequência.
Comparando as frequências (peguei esses números do enunciado):
A maior frequência é
, correspondente à categoria
. Portanto a moda é
.
Também é útil dar a frequência relativa (para intuição):
Passo 4
Escolher uma ordem para as categorias. Uma ordem natural aqui é:
ou seja, de “pior” a “melhor”. (Essa ordem é razoável porque as categorias têm significado ordinal.)
A posição mediana para
é
Isto significa que a mediana é a categoria que contém a observação de ordem
, ou seja, o ponto central entre a
-ésima e a
-ésima observação. Para encontrar isso usamos as frequências acumuladas na ordem escolhida.
Frequências e acumuladas (peguei as frequências do enunciado):
-
. Frequência acumulada até Pior: . -
. Frequência acumulada até Igual: . -
. Frequência acumulada até Melhor: .
Agora veja onde cai a posição
: a acumulada após
é
, mas a acumulada após
é
. Portanto a posição mediana está dentro da categoria
.
Conclusão: a mediana é
. Em palavras: pelo menos metade das respostas (
observações) estão em categorias
“Igual” na ordem escolhida, e a categoria que ocupa o centro é “Igual”.
Passo 5
Por definição, a média aritmética exige valores numéricos com significado de intervalo. Aqui as respostas são categorias qualitativas (mesmo que tenham ordem). Se eu quiser forçar uma média preciso atribuir números às categorias — isso é uma escolha arbitrária e o valor obtido depende dessa codificação. Assim, a média não é intrínseca aos dados e pode enganar.
Para ilustrar como a média depende da codificação, faço dois exemplos (agora só para mostrar o efeito; isso não torna a média “verdadeira” para os dados):
Codificação A (escala 0–2):
.
Calcular a “média de pontuação”:
Calcular a “média de pontuação”:
Interpretação (apenas dentro desta codificação): média
numa escala
–
, levemente abaixo de
(categoria “Igual”), mas esta interpretação depende totalmente da escolha
.
Codificação B (escala -1 a 1):
.
Aqui a média dá
, ligeiramente negativa, o que sugeriria tendência para “pior” — resultado diferente do caso A.
Esses dois exemplos mostram claramente que a média depende da codificação; por isso a média aritmética não é uma medida adequada e confiável para descrever o “centro” de categorias qualitativas ordinais, a menos que exista uma escala numérica já aceita.
Passo 6
- A moda (
) é válida e fácil de interpretar: a resposta mais comum foi com respostas ( ). - A mediana (
) é válida porque as categorias têm uma ordem natural; a categoria central da distribuição é . - A média aritmética não é intrinsecamente apropriada para essas categorias; qualquer valor numérico calculado requer atribuir números às categorias e, portanto, é arbitrário. Se for necessário um resumo numérico por codificação, deve-se declarar claramente a codificação e lembrar que o resultado depende dessa escolha.
Você está indo bem — mesmo quando a média parece algo que “todo mundo pede”, aqui a moda e a mediana (com interpretação cuidadosa) são as medidas que realmente dizem algo consistente sobre os dados.
Resposta
Média: não apropriada para estas categorias (valor numérico depende da codificação utilizada).
Mediana: Igual.
Moda: Pior.
Mediana: Igual.
Moda: Pior.