Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Aeronaves: O número de aeronaves que as linhas aéreas têm em suas frotas.
699 480 25 35 110 445
458 374 93 356 380

Passo 1

O enunciado fornece a lista de tamanhos de frotas (número de aeronaves) das companhias aéreas, os dados são:
699,\;480,\;25,\;35,\;110,\;445,\;458,\;374,\;93,\;356,\;380.
O que o problema pede:
  • Encontrar a média aritmética desses dados.
  • Encontrar a mediana desses dados.
  • Encontrar a moda desses dados (se existir).
  • Explicar, quando for o caso, por que alguma dessas medidas não pode ser encontrada ou por que não representa bem o “centro” dos dados.

Passo 2

Como calcular a média (fórmula e ideia): a média aritmética de um conjunto de n observações x_1,x_2,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui n é o número total de observações e \sum_{i=1}^n x_i é a soma de todos os valores. A média dá um valor único que “equilibra” a soma dos desvios; é sensível a valores muito grandes ou muito pequenos (outliers).

Passo 3

Vou calcular a soma passo a passo (agrupando para ficar fácil de conferir):
\begin{aligned} &699+480=1179,\\\ &1179+25=1204,\\\ &1204+35=1239,\\\ &1239+110=1349,\\\ &1349+445=1794,\\\ &1794+458=2252,\\\ &2252+374=2626,\\\ &2626+93=2719,\\\ &2719+356=3075,\\\ &3075+380=3455. \end{aligned}
Portanto a soma dos n valores é \sum_{i=1}^{11} x_i=3455 e n=11. Aplicando a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{3455}{11}=314,090909\ldots=314,\overline{09}.
Explicação prática: na prova pode deixar como fração \dfrac{3455}{11} ou como decimal 314,09 (com repetição de 09). Vou preferir a forma 314,\overline{09} para mostrar precisão.

Passo 4

Como calcular a mediana (fórmula e ideia): a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se n é ímpar, a mediana é o \dfrac{n+1}{2}-ésimo valor ordenado; se n é par, é a média dos dois valores centrais. A mediana é robusta a outliers (não muda muito se há valores extremos).
Primeiro ordeno os dados em ordem crescente (mostro que peguei estes números da lista dada):
25,\;35,\;93,\;110,\;356,\;374,\;380,\;445,\;458,\;480,\;699.
Aqui n=11 é ímpar, então a mediana é o valor na posição \dfrac{11+1}{2}=6 (ou seja, o sexto valor na lista ordenada). O sexto valor é 374. Logo a mediana é
\text{mediana}=374.

Passo 5

Como determinar a moda (definição e aplicação): moda é o(s) valor(es) que aparece(m) com maior frequência na amostra. Se todos os valores aparecem apenas uma vez, diz-se que não há moda (ou que a distribuição é amodal). Vou checar as frequências — peguei os valores da lista original:
699,480,25,35,110,445,458,374,93,356,380.
Cada valor aparece exatamente uma vez; não há repetições. Portanto:
\text{moda: não existe (nenhum valor repetido)}.ã

Passo 6

Avaliação de qual medida representa melhor o “centro” aqui (intuição e conclusão): a média ficou em \bar{x}=314,\overline{09} e a mediana em 374. Note que há valores muito pequenos ( 25,35,93,110) e um valor muito grande ( 699). A média é afetada por esses valores extremos; como há vários valores pequenos, a média ficou menor que a mediana. A mediana, por ser o ponto central ordenado, não é afetada pelo tamanho exato dos extremos e muitas vezes representa melhor o centro em amostras com valores extremos ou distribuição assimétrica.
Em termos práticos:
  • A mediana 374 é uma boa medida de posição central para estes dados porque indica que metade das companhias tem até 374 aeronaves e metade tem pelo menos 374 (considerando a ordenação). A mediana é robusta a outliers.
  • A média 314,\overline{09} resume aritmeticamente os dados, mas pode não refletir bem o “typical” (típico) aqui por causa dos valores extremos; por exemplo, valores muito pequenos puxaram a média para baixo, apesar de existirem várias frotas grandes.
  • A moda não existe, então não pode ser usada para indicar um valor típico neste conjunto.
Um pequeno exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): se trocássemos o 699 por 2000, a mediana continuaria 374 (não muda), enquanto a média subiria muito — isso mostra a sensibilidade da média a outliers.

Resposta

Média: \bar{x}=314,\overline{09}
Mediana: 374
Moda: não existe (nenhum valor repetido)

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