Encontre a medida em graus do ângulo entre os vetores \vec{u}=(1,1,20) e \vec{v}=(-10,1,0).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{u}=(1,1,20) e \vec{v}=(-10,1,0), e pede a medida em graus do ângulo \theta entre eles. O conteúdo necessário é o produto escalar e norma de vetores, usando a fórmula
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|},
depois invertemos com \theta=\operatorname{arccos}(\cdot) e convertemos para graus.

Passo 2

Calculamos o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v} = (1)(-10) + (1)(1) + (20)(0) = -10 + 1 + 0 = -9.

Passo 3

Calculamos as normas:
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 20^2} = \sqrt{1 + 1 + 400} = \sqrt{402},
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-10)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 1} = \sqrt{101}.

Passo 4

Substituímos na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{-9}{\sqrt{402}\,\sqrt{101}} = \frac{-9}{\sqrt{40602}}.

Passo 5

Para achar \theta, usamos a função arccos e convertemos para graus. Numericamente
\cos\theta \approx \frac{-9}{201{,}5} \approx -0{,}0447
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\theta \approx \operatorname{arccos}(-0{,}0447) \approx 92{,}6^\circ.

Resposta

A medida do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é aproximadamente 92{,}6^\circ.

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