Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea e encontre a solução geral. x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=2 x^{3}, x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x}.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO não homogênea de segunda ordem
x^{2}y''-x(x+2)y'+(x+2)y=2x^{3},\quad x>0,
e informa duas funções
y_{1}(x)=x,\quad y_{2}(x)=x e^{x}.
O conteúdo é resolver EDOs lineares de segunda ordem por variação de parâmetros: primeiro verificamos que y_{1},y_{2} formam uma base de soluções da homogênea e depois usamos a fórmula de variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Verificamos y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x} na homogênea. Dividindo a equação original por x^{2}, obtemos a forma padrão