Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=2 x^{3}, x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x}.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO não homogênea de segunda ordem
x^{2}y''-x(x+2)y'+(x+2)y=2x^{3},\quad x>0,
e informa duas funções
y_{1}(x)=x,\quad y_{2}(x)=x e^{x}.
O conteúdo é resolver EDOs lineares de segunda ordem por variação de parâmetros: primeiro verificamos que y_{1},y_{2} formam uma base de soluções da homogênea e depois usamos a fórmula de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Verificamos y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x} na homogênea. Dividindo a equação original por x^{2}, obtemos a forma padrão
y''-\frac{x+2}{x}\,y'+\frac{x+2}{x^{2}}\,y=2x.
Para y_{1}(x)=x:
y_{1}'=1,\quad y_{1}''=0 \quad\Longrightarrow\quad 0-\frac{x+2}{x}\cdot1+\frac{x+2}{x^{2}}\cdot x=0.
Para y_{2}(x)=x e^{x}:
y_{2}'=e^{x}(1+x),\quad y_{2}''=e^{x}(2+x)
\Longrightarrow\quad e^{x}(2+x)-\frac{x+2}{x}e^{x}(1+x)+\frac{x+2}{x^{2}}\,(x e^{x})=0.
Logo ambas satisfazem a homogênea e são linearmente independentes.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = x\cdot e^{x}(1+x)-\bigl(x e^{x}\bigr)\cdot1 = x^{2}e^{x}.
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}'=-\frac{y_{2}\,g(x)}{W(x)}, \quad u_{2}'=\frac{y_{1}\,g(x)}{W(x)},
onde g(x)=2x.]

Passo 4

Substituindo y_{1},y_{2},g,W:
u_{1}'=-\frac{x e^{x}\,\bigl(2x\bigr)}{x^{2}e^{x}} =-2, \quad u_{2}'=\frac{x\,(2x)}{x^{2}e^{x}} =2e^{-x}.
Integramos:
u_{1}(x)=-2x, \quad u_{2}(x)=\int2e^{-x}dx=-2e^{-x}.

Passo 5

A solução particular é
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} =(-2x)\cdot x+(-2e^{-x})\cdot(xe^{x}) =-2x^{2}-2x.
Logo a solução geral da não homogênea é
y(x)=C_{1}x+C_{2}x e^{x}-2x^{2}-2x.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x e^{x}-2x^{2}-2x.

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