(8 pontos)
a) Determine os pontos críticos da função
.
b) Classifique os pontos críticos encontrados acima.
a) Determine os pontos críticos da função
b) Classifique os pontos críticos encontrados acima.
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, resolução de sistema para
e classificação via matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e impomos
:
Da primeira equação vem
ou
. Da segunda,
. Logo os pontos críticos são
Passo 3
Para classificar, usamos a matriz Hessiana
Definimos o determinante
O critério é:
- Se
e , mínimo local. - Se
e , máximo local. - Se
, ponto de sela.
Passo 4
Avaliando em cada ponto:
- Em
: , . É sela. - Em
: , . É mínimo local. - Em
: , . É mínimo local.
Resposta
(0, −2): ponto de sela.
(1, −2): mínimo local.
(−1, −2): mínimo local.
(1, −2): mínimo local.
(−1, −2): mínimo local.