(8 pontos)
a) Determine os pontos críticos da função f(x, y)=x^{4}-2 x^{2}+\frac{y^{2}}{2}+2 y-1.
b) Classifique os pontos críticos encontrados acima.

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{4}-2x^{2}+\frac{y^{2}}{2}+2y-1.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, resolução de sistema para \nabla f=0 e classificação via matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e impomos \nabla f=0:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)\quad\Longrightarrow\quad 4x(x^{2}-1)=0,
\frac{\partial f}{\partial y}=y+2\quad\Longrightarrow\quad y+2=0.
Da primeira equação vem x=0 ou x=\pm1. Da segunda, y=-2. Logo os pontos críticos são
(0,-2),\quad (1,-2),\quad (-1,-2).

Passo 3

Para classificar, usamos a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x^{2}-4 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Definimos o determinante
D = \det H = (12x^{2}-4)\cdot1 - 0 = 12x^{2}-4.
O critério é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, máximo local.
  • Se D<0, ponto de sela.

Passo 4

Avaliando em cada ponto:
  • Em (0,-2): f_{xx}=12\cdot0^{2}-4=-4, D=-4<0. É sela.
  • Em (1,-2): f_{xx}=12\cdot1^{2}-4=8, D=8>0. É mínimo local.
  • Em (-1,-2): f_{xx}=12\cdot1-4=8, D=8>0. É mínimo local.

Resposta

(0, −2): ponto de sela.
(1, −2): mínimo local.
(−1, −2): mínimo local.

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