Encontre o menor inteiro positivo congruente com:
5^20(bmod 7)

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo congruente a 5^20 módulo 7. O conteúdo aqui é cálculo de restos de potências e vamos usar o Teorema de Fermat, que diz que para primo p e a coprimo com p vale a^p-1equiv1pmod p.

Passo 2

Como 7 é primo, temos 5^6equiv1pmod7. Podemos decompor o expoente 20 como 20 = 6cdot3 + 2 e reescrever:
5^20 = 5^6cdot3 + 2 = (5^6)^3 cdot 5^2

Passo 3

Usando 5^6equiv1pmod7, isso vira (5^6)^3cdot5^2equiv1^3cdot5^2 = 5^2pmod7. Agora basta achar o resto de 5^2.

Passo 4

Calculando 5^2 = 25 e fazendo 25 bmod 7, temos 25 = 7cdot3 + 4, logo o resto é 4.

Resposta

4

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