Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z).
T é injetora? É sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(2x+y-z,;3x-2y+4z)
e pede para verificar se T é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a R^2). Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem (rank-nullity) e análise direta do sistema.

Passo 2

Para checar injetividade, achamos
Da primeira equação vem e daí . Assim
que não é só o vetor zero. Portanto não é injetora.

Passo 3

Para checar sobrejetividade, basta ver que as duas linhas da matriz de ,
não são múltiplos uma da outra, ou seja, são linearmente independentes. Isso implica que , igual à dimensão de , logo e é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora e é sobrejetora.

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