Seja
a transformação linear definida por
.
é injetora? É sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para verificar se
é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a
). Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem (rank-nullity) e análise direta do sistema.
Passo 2
Para checar injetividade, achamos
Da primeira equação vem e daí
. Assim
que não é só o vetor zero. Portanto
não é injetora.
Passo 3
Para checar sobrejetividade, basta ver que as duas linhas da matriz de
,
não são múltiplos uma da outra, ou seja, são linearmente independentes. Isso implica que , igual à dimensão de
, logo
e
é sobrejetora.