Encontre o menor limite superior e o maior limite inferior (se existirem) dos seguintes conjuntos. Também decida quais conjuntos têm maiores e menores elementos (isto é, decida quando o menor limite superior e o maior limite inferior pertencem ao conjunto).
ou
para algum
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar o supremo e o ínfimo do conjunto A = {0} ∪ {1/n : n ∈ ℕ}, além de decidir se esses valores pertencem a A (isto é, se há máximo e mínimo). Vamos usar a definição de limite superior (supremo) e limite inferior (ínfimo).
Passo 2
Para achar o supremo de A, lembramos que o supremo é o menor dos limites superiores, ou seja, o menor M tal que todo x ∈ A satisfaz x ≤ M. Note que para todo n ∈ ℕ temos 1/n ≤ 1 e também 0 ≤ 1. Logo 1 é um limite superior de A. Agora, se tentássemos um M < 1, temos M < 1 = 1/1, e portanto M não seria maior que todos os elementos de A. Logo não existe limite superior menor que 1. Concluímos que sup A = 1. Como 1 = 1/1 ∈ A, ele é na verdade o maior elemento (máximo) de A.
Passo 3
Para achar o ínfimo de A, lembramos que o ínfimo é o maior dos limites inferiores, ou seja, o maior m tal que todo x ∈ A satisfaz m ≤ x. Note que 0 ≤ 1/n para todo n e 0 ≤ 0, então 0 é um limite inferior de A. Se tomarmos qualquer m > 0, escolhemos n > 1/m (existe sempre, pois ℕ é infinito) de modo que 1/n < m, e então m não é menor ou igual a todos os elementos de A. Logo não existe limite inferior maior que 0. Concluímos que inf A = 0. Como 0 ∈ A, ele é o menor elemento (mínimo) de A.
Resposta
sup A = 1 (que pertence a A, logo há máximo igual a 1); inf A = 0 (que pertence a A, logo há mínimo igual a 0).