Sabendo que f^prime(x)=(x-1)(x+2), identifique:
(a) para quais valores de x a função f(x) é crescente;
(b) para quais valores de x a função f(x) é decrescente;
© o ponto de mínimo local de f(x);
(d) o ponto de máximo local de f(x);

Passo 1

Vamos estudar uma função f cuja derivada é dada por f'(x)=(x-1)(x+2). Nosso objetivo é encontrar onde f é crescente, decrescente, e identificar mínimos e máximos locais, usando cálculo de derivadas e análise de sinal.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos críticos resolvendo (x-1)(x+2)=0. Assim obtemos as raízes
x-1=0implies x=1
x+2=0implies x=-2

Passo 3

Em seguida, fazemos o estudo de sinal de f'(x) nos intervalos definidos por esses pontos:
  • Para x<-2, ambos x-1 e x+2 são negativos, então f'(x)>0.
  • Para -2, temos x+2>0 e x-1<0, logo f'(x)<0.
  • Para x>1, ambos são positivos, então f'(x)>0.

Passo 4

Como f'(x)>0 indica crescimento e f'(x)<0 indica decrescimento, concluímos os intervalos.

Passo 5

Para classificar extremos, observamos as trocas de sinal de f'(x):
  • Em x=-2, f'(x) vai de positivo para negativo, indicando um máximo local em x=-2.
  • Em x=1, f'(x) vai de negativo para positivo, indicando um mínimo local em x=1.

Resposta

(a) f é crescente em (-∞, -2) ∪ (1, ∞)
(b) f é decrescente em (-2, 1)
© ponto de mínimo local: x = 1
(d) ponto de máximo local: x = -2

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