Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de . Para isso precisamos checar se
(1) o zero está em ,
(2) é fechado sob soma,
(3) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero pertence a .
Como
segue que .
Passo 3
Testamos a clausura sob soma. Seja
Note que
A^2 = A,
logo Ain W. Mas
A + A = 2A,
e
(2A)^2 = 4A neq 2A
Portanto A+Anotin W, ou seja, W não é fechado sob adição.
Passo 4
Como já falhamos na clausura sob soma, concluímos que W não é subespaço. (Opcionalmente, nota-se também que para escalar lambda=2 se tem (2A)^2=4Aneq2A, mostrando falta de clausura sob multiplicação escalar.)