Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de M3 times 3 :
W=A ; A^2=A

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = Ain M3times3mid A^2 = A
é subespaço de M3times3. Para isso precisamos checar se
(1) o zero está em W,
(2) W é fechado sob soma,
(3) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero 0 pertence a W.
Como
0^2 = 0,
segue que 0in W.

Passo 3

Testamos a clausura sob soma. Seja
A = 1&0&0 0&0&0 0&0&0
Note que
A^2 = A,
logo Ain W. Mas
A + A = 2A,
e
(2A)^2 = 4A neq 2A
Portanto A+Anotin W, ou seja, W não é fechado sob adição.

Passo 4

Como já falhamos na clausura sob soma, concluímos que W não é subespaço. (Opcionalmente, nota-se também que para escalar lambda=2 se tem (2A)^2=4Aneq2A, mostrando falta de clausura sob multiplicação escalar.)

Resposta

W não é um subespaço vetorial de M3times3.

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