Encontre a e b de modo que a função f(x)=a x^3+b x^2+3 x-1 passe pelo ponto (-1,1) e tenha um ponto de inflexão quando x=2.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar os valores de a e b na função f(x) = a x^3 + b x^2 + 3x -1 de modo que:
  1. A função passe pelo ponto (-1, 1).
  2. A função tenha um ponto de inflexão quando x = 2 .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e cálculo, especificamente derivadas para encontrar pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição de que a função passa pelo ponto (-1, 1). Isso significa que quando x = -1 , f(x) = 1 .
Substituindo na função:
1 = a(-1)^3 + b(-1)^2 + 3(-1) -1
Simplificando:
1 = -a + b -3 -1
1 = -a + b -4
Portanto, temos a primeira equação:
-a + b = 5

Passo 3

Agora, vamos usar a condição de que há um ponto de inflexão em x = 2 . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de f(x) :
f'(x) = 3a x^2 + 2b x + 3
Em seguida, a segunda derivada:
f''(x) = 6a x + 2b
Para ter um ponto de inflexão em x = 2 , temos:
f''(2) = 0
Substituindo:
6a(2) + 2b = 0
12a + 2b = 0
Simplificando dividindo por 2:
6a + b = 0

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-a + b = 5 6a + b = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda:
(6a + b) - (-a + b) = 0 - 5
6a + b + a - b = -5
7a = -5
Portanto:
a = -57

Passo 5

Agora, substituímos o valor de a na primeira equação para encontrar b :
-(-57) + b = 5
57 + b = 5
b = 5 - 57
b = 357 - 57 = 307

Resposta

Os valores são a = -dfrac57 e b = dfrac307 .

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