Encontre
e
de modo que a função
passe pelo ponto
e tenha um ponto de inflexão quando
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar os valores de
e
na função
de modo que:
- A função passe pelo ponto
. - A função tenha um ponto de inflexão quando
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e cálculo, especificamente derivadas para encontrar pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição de que a função passa pelo ponto
. Isso significa que quando
,
.
Substituindo na função:
Simplificando:
Portanto, temos a primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição de que há um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de
:
Em seguida, a segunda derivada:
Para ter um ponto de inflexão em
, temos:
Substituindo:
Simplificando dividindo por 2:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos o valor de
a na primeira equação para encontrar
b :
Resposta
Os valores são
a = -dfrac57 e
b = dfrac307 .