Use o teste da segunda derivada para identificar os máximos e mínimos locais das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que usar o teste da segunda derivada pra descobrir onde a função
atinge seus máximos e mínimos locais. Basicamente, vamos calcular as derivadas da função e usar essas informações pra entender o comportamento dela. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo. Então, vamos derivar
:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada é zero ou não existe, indicando possíveis máximos ou mínimos. Vamos resolver a equação
:
Vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função, que nos ajudará a aplicar o teste da segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” naquele ponto, indicando um mínimo ou máximo, respectivamente.
Derivando novamente
:
Passo 5
Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos
e
.
Primeiro, para
:
Como
, a função está curvada para cima no ponto
, então temos um mínimo local.
Agora, para
:
Também aqui,
, então a função está curvada para cima no ponto
, indicando outro mínimo local.
Resposta
A função
tem mínimos locais em
e
, conforme identificado pelo teste da segunda derivada.