Use o teste da segunda derivada para identificar os máximos e mínimos locais das funções abaixo.
f(x)=x^2+1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que usar o teste da segunda derivada pra descobrir onde a função f(x) = x^2 + 1x^2 atinge seus máximos e mínimos locais. Basicamente, vamos calcular as derivadas da função e usar essas informações pra entender o comportamento dela. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo. Então, vamos derivar f(x) :
f'(x) = ddx(x^2 + 1x^2)
Calculando cada termo:
f'(x) = 2x - 2x^3

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada é zero ou não existe, indicando possíveis máximos ou mínimos. Vamos resolver a equação f'(x) = 0 :
2x - 2x^3 = 0
Vamos simplificar:
2x = 2x^3
Multiplicando ambos os lados por x^3 :
2x cdot x^3 = 2
2x^4 = 2
Dividindo por 2:
x^4 = 1
Então:
x = pm1

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função, que nos ajudará a aplicar o teste da segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” naquele ponto, indicando um mínimo ou máximo, respectivamente.
Derivando novamente f'(x) :
f''(x) = ddx(2x - 2x^3)
f''(x) = 2 + 6x^4

Passo 5

Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos x = 1 e x = -1 .
Primeiro, para x = 1 :
f''(1) = 2 + 61^4 = 2 + 6 = 8
Como f''(1) > 0 , a função está curvada para cima no ponto x = 1 , então temos um mínimo local.
Agora, para x = -1 :
f''(-1) = 2 + 6(-1)^4 = 2 + 6 = 8
Também aqui, f''(-1) > 0 , então a função está curvada para cima no ponto x = -1 , indicando outro mínimo local.

Resposta

A função f(x) = x^2 + 1x^2 tem mínimos locais em x = 1 e x = -1 , conforme identificado pelo teste da segunda derivada.

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