O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
b. Resolva a equação diferencial.
d yd x=x^2-3 y^22 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=x^2-3y^22xy,
que é homogênea (tanto numerador quanto denominador são de grau 2 em x,y). Para equações homogêneas usamos a substituição
y = x,v(x),
de modo que a equação se torne separável em v e x.

Passo 2

Com y=xv temos
dydx=v + xdvdx
Substituindo na equação original:
v + xdvdx = x^2-3(xv)^22x,(xv) = x^2-3x^2v^22x^2v = 1-3v^22v
Isolando dv/dx:
xdvdx = 1-3v^22v-v = 1-3v^2-2v^22v = 1-5v^22v

Passo 3

Separe variáveis para integrar:
2v1-5v^2,dv = dxx

Passo 4

Integre ambos os lados:
integral 2v1-5v^2,dv = integral dxx
Fazendo u=1-5v^2, du=-10v,dv, obtemos
-,15lnl|1-5v^2r| = ln|x| + C1
Multiplicando por -5 e reunindo constantes:
lnl|1-5v^2r| = -5ln|x| + C2 Longrightarrow 1-5v^2 = C,x^-5

Passo 5

Volte à variável y usando v=y/x:
1-5y^2x^2 = C,x^-5 Longrightarrow x^2-5y^2 = C,x^-3
Multiplicando por x^3 para simplificar a forma implícita:
x^5-5x^3y^2 = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
x^5-5x^3y^2=K,
com K constante de integração.

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