O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
O enunciado pede o campo de direções e algumas curvas integrais da equação
Observação importante: a função do lado direito é homogênea de grau zero, isto é, depende apenas de
pois
Isso nos diz que, em todo ponto pertencente à reta que passa pela origem com inclinação
, as setas do campo têm todas a mesma inclinação
.
Passo 2
Para esboçar qualitativamente o campo de direções note:
– Se (eixo
), então o denominador
se anula e a inclinação
vai a
, ou seja, setas verticais.
– Se , isto é,
, então
e as setas são horizontais.
– Se
– Se
Entre esses valores, basta calcular alguns
e marcar a inclinação constante ao longo da reta
, desenhando setas que formam o padrão típico de um campo homogêneo.
Passo 3
Verifiquemos a simetria do campo:
Logo as setas em
e em
têm a mesma inclinação. Isso equivale a dizer que o campo é invariante por rotação de
em torno da origem.
Passo 4
Dessa simetria segue que, se
é uma curva integral, então
é também solução. Em outras palavras, o conjunto de todas as curvas integrais é simétrico pela meia-volta em torno da origem. Note, porém, que uma curva genérica associada a uma constante de integração
é levada em outra curva com constante
. Só a solução singular (corresponde a
, ou seja,
) é invariante ponto a ponto.
Resposta
O campo de direções é simétrico em relação à origem e, como consequência, o conjunto de curvas integrais também o é (cada solução
gera, por rotação de
, a solução
).