O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
d yd x=x^2-3 y^22 x y

Passo 1

O enunciado pede o campo de direções e algumas curvas integrais da equação
dydx=x^2-3y^22xy,
Observação importante: a função do lado direito é homogênea de grau zero, isto é, depende apenas de
v=yx,,
pois
x^2-3y^22xy=1-3v^22vequiv f(v),
Isso nos diz que, em todo ponto pertencente à reta que passa pela origem com inclinação v, as setas do campo têm todas a mesma inclinação f(v).

Passo 2

Para esboçar qualitativamente o campo de direções note:
– Se v=0 (eixo x), então o denominador 2v se anula e a inclinação ,dy/dx, vai a pminfty, ou seja, setas verticais.
– Se f(v)=0, isto é, 1-3v^2=0, então v=pm1/raiz3 e as setas são horizontais.
Entre esses valores, basta calcular alguns v e marcar a inclinação constante ao longo da reta y=v x, desenhando setas que formam o padrão típico de um campo homogêneo.

Passo 3

Verifiquemos a simetria do campo:
f(-x,-y) =(-x)^2-3(-y)^22(-x)(-y) =x^2-3y^22xy =f(x,y),
Logo as setas em (x,y) e em (-x,-y) têm a mesma inclinação. Isso equivale a dizer que o campo é invariante por rotação de 180^circ em torno da origem.

Passo 4

Dessa simetria segue que, se y(x) é uma curva integral, então
widetilde y(x)=-,y(-x)
é também solução. Em outras palavras, o conjunto de todas as curvas integrais é simétrico pela meia-volta em torno da origem. Note, porém, que uma curva genérica associada a uma constante de integração Cneq0 é levada em outra curva com constante -C. Só a solução singular (corresponde a C=0, ou seja, x^2-5y^2=0) é invariante ponto a ponto.

Resposta

O campo de direções é simétrico em relação à origem e, como consequência, o conjunto de curvas integrais também o é (cada solução y(x) gera, por rotação de 180^circ, a solução -y(-x)).

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