Encontre x in R de modo que u perp v, onde E=(e1, e2, e3) é uma base ortonormal de V^3.
u=x e1+x e2+4 e3, v=4 e1+x e2+e3;

Passo 1

O enunciado pede o valor de xinR de modo que uperpv em uma base ortonormal. Para vetores em base ortonormal, a condição de ortogonalidade é
ucdotv=0
Vamos usar a definição do produto escalar como soma do produto das componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro escrevemos as componentes de
u=x,e1+x,e2+4,e3
e
v=4,e1+x,e2+1,e3.
O produto escalar é
ucdotv = xcdot 4 ;+; xcdot x ;+; 4cdot 1 =4x + x^2 + 4

Passo 3

Impondo ucdotv=0, obtemos a equação quadrática
x^2 + 4x + 4 = 0
Podemos completar o quadrado:
x^2+4x+4 = (x+2)^2 = 0

Passo 4

Da igualdade (x+2)^2=0 segue unicamente
x = -2

Resposta

x = -2

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