Seja E=(e1, e2, e3) uma base ortonormal de V^3. Determine o vetor u em cada um dos casos abaixo:
|u|=raiz5 ; u,(1,1,1)E e (0,1,-1)E são LD e u perp(2,1,-1)E.

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec u=(u1,u2,u3)E em V^3 tal que
  1. |vec u|=raiz5,
  2. os vetores vec u, (1,1,1)E e (0,1,-1)E são linearmente dependentes (logo vec u está no plano gerado por esses dois últimos),
  3. vec uperp(2,1,-1)E.

Passo 2

Da dependência linear entre vec u, (1,1,1)E e (0,1,-1)E segue que existem alpha,beta tais que
vec u=alpha,(1,1,1)E+beta,(0,1,-1)E
Em coordenadas,
vec u=(alpha,;alpha+beta,;alpha-beta)E

Passo 3

A condição vec uperp(2,1,-1)E
vec ucdot(2,1,-1) =2alpha+(alpha+beta)cdot1+(alpha-beta)cdot(-1)=0
Simplificando:
2alpha+alpha+beta-alpha+beta=2alpha+2beta=0 Longrightarrow alpha+beta=0 Longrightarrow beta=-alpha

Passo 4

Substituindo beta=-alpha em vec u=(alpha,alpha+beta,alpha-beta) obtém-se
vec u=(alpha,0,2alpha)E =alpha,(1,0,2)E

Passo 5

Para |vec u|=raiz5 vale
|alpha(1,0,2)|^2 =alpha^2(1^2+0^2+2^2) =5alpha^2 overset!=5 Longrightarrow alpha^2=1 Longrightarrow alpha=pm1

Resposta

vec u=(1,0,2)E ou vec u=(-1,0,-2)E.

Exercícios relacionados