Seja E=(e1, e2, e3) uma base ortonormal de V^3. Encontre a medida em radianos do ângulo formado pelos vetores u e v, nos seguintes casos:
u=3 e1+3 e2, v=2 e1+e2-2 e3.

Passo 1

O enunciado nos pede a medida do ângulo entre os vetores u e v em R^3, sabendo que a base E=l(e1,e2,e3r) é ortonormal. Vamos usar o produto escalar e as normas para encontrar theta tal que
costheta = ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada vetor na base canônica:
u = 3e1+3e2 implies u = (3,3,0),
v = 2e1+e2-2e3 implies v = (2,1,-2).
O produto escalar é
ucdotv = 3cdot2 + 3cdot1 + 0cdot(-2) = 6 + 3 + 0 = 9

Passo 3

Agora calculamos as normas:
|u| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz18 = 3raiz2,
|v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4+1+4 = raiz9 = 3.

Passo 4

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = ucdotv|u|;|v| = 9(3raiz2)cdot 3 = 99raiz2 = 1raiz2
Logo theta = arccosl(1/raiz2r).

Passo 5

Sabendo que arccos(1/raiz2) = pi/4 radianos, concluímos o valor do ângulo pedido.

Resposta

pi4 radians

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