Encontre o módulo e o argumento:
\frac{(3+3 i)(3-2 i)}{2-\sqrt{3} i}

Passo 1

O que o problema pede: encontrar o módulo e o argumento do número complexo
\frac{(3+3 i)(3-2 i)}{2-\sqrt{3}\, i}.
Informações dadas (tudo que vem no enunciado):
\text{numerador }=(3+3 i)(3-2 i),\qquad \text{denominador }=2-\sqrt{3}\, i.
Ou seja, queremos |z| e \arg(z) para
z=\frac{(3+3 i)(3-2 i)}{2-\sqrt{3}\, i}.

Passo 2

Lembrete prático (fórmulas úteis que vou usar e explicar): para dois complexos w e u vale
|w u|=|w|\,|u|,\qquad \left|\frac{w}{u}\right|=\frac{|w|}{|u|},
e para argumentos (até adição de 2\pi)
\arg(w u)=\arg(w)+\arg(u),\qquad \arg\left(\frac{w}{u}\right)=\arg(w)-\arg(u).
Isto é muito útil: podemos obter o módulo do quociente multiplicando os módulos dos fatores no numerador e dividindo pelo módulo do denominador, sem fazer multiplicação complicada.
Calculemos os módulos dos fatores individuais:
|3+3 i|=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},
|3-2 i|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13},
|2-\sqrt{3}\, i|=\sqrt{2^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}.

Passo 3

Usando a propriedade dos módulos para quociente, obtemos
|z|=\frac{|3+3 i|\;|3-2 i|}{|2-\sqrt{3}\, i|}=\frac{(3\sqrt{2})\sqrt{13}}{\sqrt{7}}.
Agora simplificamos a raiz (mostro o cálculo passo a passo):
(3\sqrt{2})\sqrt{13}=3\sqrt{26},
então
|z|=\frac{3\sqrt{26}}{\sqrt{7}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{7} para deixar em forma racionalizada:
|z|=\frac{3\sqrt{26}\sqrt{7}}{7}=\frac{3\sqrt{182}}{7}.
Pronto: este é o módulo em forma exata.

Passo 4

Agora o argumento. Vou usar a propriedade dos argumentos e também vou verificar convertendo para a forma x+iy para obter uma expressão simples para \tan(\arg z).
Primeiro, argumentos dos fatores:
\arg(3+3 i)=\arctan\!\left(\frac{3}{3}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4},
pois 3+3i tem parte real positiva e parte imaginária positiva (1º quadrante).
\arg(3-2 i)=\arctan\!\left(\frac{-2}{3}\right)=-\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right),
pois 3-2i tem parte real positiva e parte imaginária negativa (4º quadrante).
\arg(2-\sqrt{3}\, i)=\arctan\!\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)=-\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right),
pois 2-\sqrt{3}i também tem parte real positiva e parte imaginária negativa.
Então, pela propriedade dos argumentos,
\arg(z)=\arg(3+3 i)+\arg(3-2 i)-\arg(2-\sqrt{3}\, i).
Substituindo:
\arg(z)=\frac{\pi}{4}-\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)-\Big(-\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\Big) =\frac{\pi}{4}-\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)+\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Para apresentar a resposta de forma única e explícita, é bonito mostrar também a forma \arg(z)=\arctan\!\left(\dfrac{\Im z}{\Re z}\right). Vou obter \Re z e \Im z para confirmar e dar uma expressão única para o argumento.
Multiplicamos numerador e denominador por 2+\sqrt{3}\, i (conjugado do denominador) para escrever z em forma cartesiana. Peguei isso fazendo a expansão:
(15+3 i)(2+\sqrt{3}\, i)=(30-3\sqrt{3})+(15\sqrt{3}+6)\, i,
e o denominador ao multiplicar pelos conjugados vira 7. Note que a etapa anterior usa o fato de que já simplificamos o numerador original para 15+3i, que vem de (3+3i)(3-2i)=15+3i. Assim
z=\frac{(30-3\sqrt{3})+(15\sqrt{3}+6)\, i}{7}.
Logo
\Re z=\frac{30-3\sqrt{3}}{7},\qquad \Im z=\frac{15\sqrt{3}+6}{7}.

Passo 6

Agora a tangente do argumento é
\tan(\arg z)=\frac{\Im z}{\Re z} =\frac{15\sqrt{3}+6}{30-3\sqrt{3}}.
Fatorando 3 no numerador e denominador:
\tan(\arg z)=\frac{3(5\sqrt{3}+2)}{3(10-\sqrt{3})} =\frac{5\sqrt{3}+2}{10-\sqrt{3}}.
Como \Re z>0 e \Im z>0 (mostrei isso nos sinais acima), z está no 1º quadrante e portanto
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{5\sqrt{3}+2}{10-\sqrt{3}}\right).
Essa expressão é equivalente à expressão em termos de soma e diferença de arctangentes obtida no Passo 4; aqui está dada como uma única arctan positiva (ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}).

Resposta

\displaystyle |z|=\frac{3\sqrt{182}}{7}
\displaystyle \arg(z)=\arctan\!\left(\frac{5\sqrt{3}+2}{10-\sqrt{3}}\right)

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