Isto é muito útil: podemos obter o módulo do quociente multiplicando os módulos dos fatores no numerador e dividindo pelo módulo do denominador, sem fazer multiplicação complicada.
Agora o argumento. Vou usar a propriedade dos argumentos e também vou verificar convertendo para a forma x+iy para obter uma expressão simples para \tan(\arg z).
Para apresentar a resposta de forma única e explícita, é bonito mostrar também a forma \arg(z)=\arctan\!\left(\dfrac{\Im z}{\Re z}\right). Vou obter \Re z e \Im z para confirmar e dar uma expressão única para o argumento.
Multiplicamos numerador e denominador por 2+\sqrt{3}\, i (conjugado do denominador) para escrever z em forma cartesiana. Peguei isso fazendo a expansão:
(15+3 i)(2+\sqrt{3}\, i)=(30-3\sqrt{3})+(15\sqrt{3}+6)\, i,
e o denominador ao multiplicar pelos conjugados vira 7. Note que a etapa anterior usa o fato de que já simplificamos o numerador original para 15+3i, que vem de (3+3i)(3-2i)=15+3i. Assim
Essa expressão é equivalente à expressão em termos de soma e diferença de arctangentes obtida no Passo 4; aqui está dada como uma única arctan positiva (ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}).