Encontre o módulo e o argumento do número complexo z=-9+i 31-i 2 (i.e., |z| e arg z ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o módulo e o argumento do número complexo
z = -9 + 3i1 - 2i
O que vamos usar: divisão de números complexos (racionalização do denominador), seguido das fórmulas
|z| = raiza^2 + b^2, arg z = arctan!l(tfracbar) ajustado ao quadrante de (a,b) ,
onde escrevemos z = a + bi.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1 - 2i, que é 1 + 2i:
z = (-9 + 3i)(1 + 2i)(1 - 2i)(1 + 2i)

Passo 3

Calculamos separadamente numerador e denominador:
Numerador:
(-9 + 3i)(1 + 2i) = -9 - 18i + 3i + 6i^2 = -9 -15i + 6(-1) = -15 - 15i
Denominador:
(1 - 2i)(1 + 2i) = 1 - (2i)^2 = 1 + 4 = 5
Logo
z = -15 - 15i5 = -3 - 3i,
ou seja, a = -3 e b = -3.

Passo 4

O módulo de z vem de
|z| = raiza^2 + b^2 = raiz(-3)^2 + (-3)^2 = raiz9 + 9 = raiz18 = 3raiz2

Passo 5

Para o argumento avaliamos
arctan!l(tfracbar) = arctan!l(tfrac-3-3r) = arctan(1) = tfracpi4
Mas como (a,b)=(-3,-3) está no terceiro quadrante, somamos pi:
theta = pi + tfracpi4 = tfrac5pi4
Se preferirmos o argumento principal em (-pi,pi], subtraímos 2pi:
arg z = tfrac5pi4 - 2pi = -tfrac3pi4

Resposta

|z| = 3raiz2, arg z = -tfrac3pi4

Exercícios relacionados