Encontre os valores de z e w nas seguintes equações: 2 z+1=-i w, z-3=w+i 3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números complexos z e w que satisfazem o sistema
2z + 1 = -,i,w,
z - 3 = w + i,3
O conteúdo é resolução de um sistema linear em variáveis complexas. Vamos isolar uma variável em uma equação e substituir na outra, usando álgebra de números complexos.

Passo 2

Isolamos w na primeira equação. Temos
2z + 1 = -,i,w
Multiplicando ambos os lados por i, obtemos
i,(2z + 1) = w,
ou seja
w = 2,i,z + i

Passo 3

Substituímos essa expressão de w na segunda equação
z - 3 = w + 3,i
Fica
z - 3 = l(2,i,z + ir) + 3,i = 2,i,z + 4,i

Passo 4

Agora agrupamos os termos em z:
z - 2,i,z = 4,i + 3
Fatorando z:
z,(1 - 2,i) = 3 + 4,i
Para isolar z, dividimos por 1 - 2,i e multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1 + 2,i:
z = 3 + 4,i1 - 2,i = (3 + 4,i)(1 + 2,i)(1 - 2,i)(1 + 2,i) = -5 + 10,i1 + 4 = -5 + 10,i5 = -1 + 2,i

Passo 5

Voltamos à expressão w = 2,i,z + i e substituímos z = -1 + 2,i:
w = 2,i,(-1 + 2,i) + i = -2,i + 4,i^2 + i = -2,i - 4 + i = -4 - i

Resposta

z = -1 + 2,i, w = -4 - i

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