São dados os complexos z=raiz3+i e w=i 3. Obtenha |z|, arg z,|w|, arg w,|z w|, arg (z w),|wz| e arg wz.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z = raiz3 + i
e
w = 3i
e pede módulo e argumento de z, módulo e argumento de w, e ainda módulo e argumento do produto zw e do quociente w/z.
Para isso vamos usar:
– A definição de módulo de um complexo x+iy, que é raizx^2+y^2.
– A definição de argumento principal, dada por arg(x+iy)=arctanl(y/xr) ajustando o quadrante.
– As propriedades
|z1z2| = |z1|,|z2|, arg(z1z2)=arg z1 + arg z2,
l|z1z2r| = |z1||z2|, arg!l(z1z2r)=arg z1 - arg z2

Passo 2

Para o complexo z=raiz3+i temos parte real x=raiz3 e parte imaginária y=1.
O módulo é
|z| = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3+1 = 2
Como x>0 e y>0, o argumento principal fica
arg z = arctan!l(yxr) = arctan!l(1raiz3r) = pi6

Passo 3

Para w=3i temos x=0 e y=3.
O módulo é
|w| = raiz0^2 + 3^2 = 3
E como w está no eixo imaginário positivo,
arg w = pi2

Passo 4

Pelo produto zw valem
|zw| = |z|,|w| = 2 cdot 3 = 6,
arg(zw) = arg z + arg w = pi6 + pi2 = 4pi6 = 2pi3

Passo 5

Para o quociente w/z usamos
l|wzr| = |w||z| = 32,
arg!l(wzr) = arg w - arg z = pi2 - pi6 = 3pi - pi6 = pi3

Resposta

|z| = 2,
arg z = pi6,
|w| = 3,
arg w = pi2,
|zw| = 6,
arg(zw) = 2pi3,
l|wzr| = 32,
arg!l(wzr) = pi3.

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