e pede módulo e argumento de z, módulo e argumento de w, e ainda módulo e argumento do produto zw e do quociente w/z.
Para isso vamos usar:
– A definição de módulo de um complexo x+iy, que é raizx^2+y^2.
– A definição de argumento principal, dada por arg(x+iy)=arctanl(y/xr) ajustando o quadrante.
– As propriedades
|z1z2| = |z1|,|z2|, arg(z1z2)=arg z1 + arg z2,
l|z1z2r| = |z1||z2|, arg!l(z1z2r)=arg z1 - arg z2
Passo 2
Para o complexo z=raiz3+i temos parte real x=raiz3 e parte imaginária y=1.
O módulo é
|z| = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3+1 = 2
Como x>0 e y>0, o argumento principal fica
arg z = arctan!l(yxr) = arctan!l(1raiz3r) = pi6
Passo 3
Para w=3i temos x=0 e y=3.
O módulo é
|w| = raiz0^2 + 3^2 = 3
E como w está no eixo imaginário positivo,
arg w = pi2
Passo 4
Pelo produto zw valem
|zw| = |z|,|w| = 2 cdot 3 = 6,
arg(zw) = arg z + arg w = pi6 + pi2 = 4pi6 = 2pi3
Passo 5
Para o quociente w/z usamos
l|wzr| = |w||z| = 32,
arg!l(wzr) = arg w - arg z = pi2 - pi6 = 3pi - pi6 = pi3