São dadas as equações z=22+i 4 e zw=6-i 8. Obtenha |w| e arg w.

Passo 1

O enunciado diz que temos o número complexo
z = 22 + 4,i
e que
zw = 6 - 8,i
O que se pede é o módulo |w| e o argumento arg w. Para isso, primeiro vamos isolar w e depois calcular seu módulo e seu argumento.

Passo 2

Isolando w da relação dfraczw=6-8,i, temos
w=z6-8,i =22+4,i6-8,icdot6+8,i6+8,i =(22+4,i)(6+8,i)6^2+8^2
Calculando o numerador e o denominador:
(22+4,i)(6+8,i)=22cdot6+22cdot8,i+4,icdot6+4,icdot8,i =132+176,i+24,i+32,i^2 =132+200,i-32 =100+200,i,
e
6^2+8^2=36+64=100
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w=100+200,i100=1+2,i

Passo 3

Para o módulo de w, usamos
|w|=raiz(Re w)^2+(Im w)^2 =raiz1^2+2^2 =raiz5

Passo 4

Para o argumento de w, como w=1+2,i está no primeiro quadrante,
arg w=arctan!gl(Im wRe wgr) =arctan!l(2r)

Resposta

|w|=raiz5, arg w=arctan(2)

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