Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
, onde
.
Passo 1
A questão pede pra gente achar o núcleo (ker) e a imagem (im) da transformação linear F: M₂×₂(ℝ) → M₂×₂(ℝ) dada por F(X)=A·X, com A =
. O conteúdo é teoria de núcleos e imagens de transformações lineares em espaços de matrizes; vamos usar representação de matrizes por componentes e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Escrevemos uma matriz genérica X em M₂×₂(ℝ) como
. Então
Passo 3
Para achar o núcleo, impomos F(X)=0, ou seja
e as equações e
são múltiplos das primeiras. Logo
e
. Substituindo em X,
e as equações
({
Passo 4
Para a imagem, observamos que F(X) tem forma
Isso mostra que toda matriz da imagem é combinação linear de
({
Passo 5
Como
e
, temos
, conferindo o teorema do núcleo-imagem.
Resposta
Base do núcleo:
Base da imagem: