Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
ll1 & 2 2 & 4, onde .

Passo 1

A questão pede pra gente achar o núcleo (ker) e a imagem (im) da transformação linear F: M₂×₂(ℝ) → M₂×₂(ℝ) dada por F(X)=A·X, com A = 1 & 22 & 4. O conteúdo é teoria de núcleos e imagens de transformações lineares em espaços de matrizes; vamos usar representação de matrizes por componentes e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos uma matriz genérica X em M₂×₂(ℝ) como X=x & yz & t. Então
F(X)=A,X=1 &22 &4x & yz & t=x+2z & y+2t2x+4z & 2y+4t

Passo 3

Para achar o núcleo, impomos F(X)=0, ou seja
x+2z=0, y+2t=0,
e as equações 2x+4z=0 e 2y+4t=0 são múltiplos das primeiras. Logo x=-2z e y=-2t. Substituindo em X,
X=-2z & -2tz & t=z-2 &01 &0+t0 &-20 &1,de onde uma base do núcleo é
({ -2 &01 &0,, 0 &-20 &1}.

Passo 4

Para a imagem, observamos que F(X) tem forma
F(X)=u & v2u &2v, u=x+2z,;v=y+2t
Isso mostra que toda matriz da imagem é combinação linear de 1 &02 &0 e 0 &10 &2. Portanto uma base da imagem é
({ 1 &02 &0,, 0 &10 &2}.

Passo 5

Como dimker F=2 e dimImF=2, temos 2+2=4=dim M2times2( R), conferindo o teorema do núcleo-imagem.

Resposta

Base do núcleo: -2 &01 &0,,0 &-20 &1 Base da imagem: 1 &02 &0,,0 &10 &2

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