Sejam a, b e c conjuntos. Demonstre dando uma prova matemática ou refute dando um contraexemplo:
P(a cup b)=P(a) cup P(b).

Passo 1

O enunciado pede para ver se vale a igualdade entre P(acup b) e P(a)cupP(b). O conteúdo envolvido é a definição de conjunto potência (power set), ou seja, P(X) é o conjunto de todos os subconjuntos de X.

Passo 2

Lembrando a definição: AinP(X) se, e somente se, Asubseteq X. Dessa forma, se AinP(a) então Asubseteq a e claramente Asubseteq acup b, logo AinP(acup b). O mesmo vale para P(b). Concluímos que sempre
P(a)cupP(b)subseteqP(acup b).

Passo 3

Para ver se a igualdade vale em geral, basta um contraexemplo. Seja
a=1, b=2
Então
acup b=1,2,
logo
P(a)=emptyset,1, P(b)=emptyset,2,
e
P(a)cupP(b)=emptyset,1,2

Passo 4

Porém 1,2inP(acup b) mas não pertence a P(a)cupP(b). Então há pelo menos um elemento em P(acup b) que não está em P(a)cupP(b). Esta falha mostra que a igualdade não vale.

Resposta

A igualdade não é verdadeira em geral; o contraexemplo com a=1 e b=2 basta para refutá-la.

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