Sejam
e
conjuntos. Demonstre dando uma prova matemática ou refute dando um contraexemplo:
.
Passo 1
O enunciado pede para ver se vale a igualdade entre
e
. O conteúdo envolvido é a definição de conjunto potência (power set), ou seja,
é o conjunto de todos os subconjuntos de
.
Passo 2
Lembrando a definição:
se, e somente se,
. Dessa forma, se
então
e claramente
, logo
. O mesmo vale para
. Concluímos que sempre
.
Passo 3
Para ver se a igualdade vale em geral, basta um contraexemplo. Seja
Então
Então
logo
e
Passo 4
Porém
mas não pertence a
. Então há pelo menos um elemento em
que não está em
. Esta falha mostra que a igualdade não vale.
Resposta
A igualdade não é verdadeira em geral; o contraexemplo com
e
basta para refutá-la.